고리와 고리구멍의 미분동형군: 유리 의사동형 안정 구간 완전 해석

초록

본 논문은 차원 $d\ge6$인 고리 $S^{1}\times D^{d-1}$의 경계 고정 diffeomorphism 군의 클래스 공간 $B!\operatorname{Diff}_{\partial}$의 유리 동차군을 $d$ 차수까지 계산한다. 이를 통해 기본군이 $\mathbb Z$인 스핀 다양체의 유리 의사동형(stable) 구간을 $

상세 분석

논문은 먼저 $X_{g}=S^{1}\times D^{2g}$와 $Y_{g}=S^{1}\times D^{2g+1}$라는 짝수·홀수 차원의 고리 고리구멍을 모델로 삼아, 이들의 자기임베딩 공간 $L X_{g},L Y_{g}$와 의사동형(concordance) 군 $C(X_{g}),C(Y_{g})$를 상세히 분석한다. 2‑차형 사상과 사각형 모듈(quadratic modules) 이론을 이용해 매핑 클래스 군 $\Gamma_{g}$의 작용을 파악하고, 안정된 동형군의 호몰로지를 Borel‑Matsushima‑Harish‑Chandra 이론에 의해 계산한다. 핵심은 Waldhausen–Williams 이론을 통한 $A$‑이론과 알제브라적 $K$‑이론 사이의 트레이스 맵을 활용해, $B!\operatorname{Diff}{\partial}(S^{1}\times D^{d-1})$와 $B C(S^{1}\times D^{d-1})$의 유리 동차군을 $K{\mathbb Q}^{*+1}(\mathbb Z