내부‑외부 교차공분산 모델: 다변량 공간 데이터의 새로운 패러다임

초록

다변량 공간 데이터를 위한 새로운 교차공분산 구조인 Inside‑Out Cross‑Covariance (IOX)를 제안한다. IOX는 독립 복제 벡터에 공간적 Cholesky 변환을 적용해 내부‑외부 형태의 공분산을 생성하며, LMC와 달리 직접적인 주변 공분산 해석, 불균등 매끄러움·니겟·비정상성 허용, 차원 축소를 손쉽게 수행한다. Vecchia 근사와 결합해 대규모 데이터에도 효율적으로 적용 가능하고, 합성 및 대장암 단백질 데이터에서 우수한 성능을 보인다.

상세 분석

IOX는 q개의 단변량 상관함수 ρ₁,…,ρ_q와 양의 반정밀 행렬 Σ를 기반으로 C_{ij}(ℓ,ℓ′)=σ_{ij} h_i(ℓ)L_iL_jᵀ h_j(ℓ′)ᵀ+ξ_{ij}(ℓ,ℓ′) 로 정의된다. 여기서 h_i(ℓ)=ρ_i(ℓ,S) ρ_i(S)^{-1}이며, L_i는 ρ_i(S)의 하위 Cholesky factor이다. 이 구조는 먼저 독립 백색 잡음 U를 샘플링하고, V=UΛᵀ (ΛΛᵀ=Σ) 로 결합한 뒤, 각 열에 L_i를 곱해 Y를 얻는 절차와 동등하다. 따라서 LMC가 공간 의존성을 먼저 주입하고 이후 변수 간 결합을 수행하는 반면, IOX는 변수 간 결합을 먼저 주고 공간 의존성을 뒤에 삽입한다는 ‘inside‑out’ 특성을 가진다.

주요 정리는 두 가지이다. 첫째, 주변 공분산 C_{ii}(ℓ,ℓ′)는 ℓ∈S 혹은 ℓ′∈S(또는 ℓ=ℓ′)일 때 σ_{ii} ρ_i(ℓ,ℓ′)와 정확히 일치한다. 따라서 관측 위치를 기준점 S로 잡으면, 모델 파라미터는 직접 ρ_i의 매개변수와 일대일 대응해 직관적인 사전 설정이 가능하다. 둘째, 교차공분산 C_{ij}(ℓ,ℓ′)는 언제나 σ_{ij} 이하이며, ρ_i=ρ_j이면 C_{ij}(ℓ,ℓ)=σ_{ij}가 된다. 이는 Σ가 교차공분산의 상한을 제공함을 의미한다.

IOX는 각 변수마다 서로 다른 매트른 매개변수(범위, 매끄러움)를 허용해 불균등 매끄러움을 자연스럽게 모델링한다. 또한 ξ_{ij} 항을 통해 위치별 니겟 효과를 포함할 수 있어 측정오차를 직접 반영한다. 비정상성은 기준점 집합 S에 의존하는 형태로 자동 발생한다(예: S를 관측점으로 두면 예측 위치에서 비정상적 공분산 구조가 생성). 차원 축소는 Σ의 저‑랭크 근사나 변수 클러스터링을 적용해 구현 가능하며, 이는 대규모 q 상황에서도 계산 복잡도를 크게 낮춘다.

스케일러빌리티 측면에서 IOX는 Vecchia 근사와 결합한다. S를 관측점 전체로 두고, 각 ρ_i에 대해 m‑최근접 이웃을 이용해 희소한 하위 Cholesky L_i를 얻어 메모리와 연산량을 O(n m²) 수준으로 제한한다. 이렇게 구성된 희소 DAG는 베이지안 계층 모델에 직접 삽입할 수 있어, 사후 샘플링이 효율적인 Gibbs 또는 Metropolis‑in‑Gibbs 알고리즘으로 수행된다.

실험에서는 n=40,000 규모의 격자 데이터에 대해 3~4개의 결과 변수를 시뮬레이션했으며, IOX가 LMC와 다변량 매트른 모델보다 예측 정확도와 로그우도에서 일관되게 우수함을 보였다. 실제 대장암 단백질 데이터(수백 개의 단백질, 수천 개의 조직 샘플)에서도 변수 간 상관 구조를 명확히 추정하고, 해석 가능한 매개변수(범위·매끄러움·니겟)로 생물학적 인사이트를 제공했다.

전반적으로 IOX는 LMC의 제한을 극복하면서도 수학적 타당성, 해석 용이성, 확장성을 동시에 만족하는 다변량 공간 교차공분산 모델이다.