SL플러스(2,ℤ) 격자합 텔레스코핑 평가와 π / 4, 자히에르 항등식

초록

본 논문은 양의 1사분면에 있는 기본 격자쌍을 모은 집합 SL₊(2,ℤ) 위에서 정의되는 격자합의 수렴성을 증명하고, 새로운 텔레스코핑 기법을 도입해
(\displaystyle\sum_{(x,y)\in SL₊(2,\mathbb Z)}\frac{1}{|x|^{2}|y|^{2}|x+y|^{2}}=\frac{\pi}{4})
를 간결히 얻는다. 또한 이 방법을 이용해 자히에르의 식
(D_{1,1,1}=2E(z,3)+\pi^{3}\zeta(3))
의 짧은 증명을 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 (\mathbb Z_{\ge0}^{2}) 안의 원시 벡터 (x,y)가 (\det(x,y)=1)을 만족하는 쌍을 모은 집합 (SL_{+}(2,\mathbb Z))를 정의한다. 이 집합은 Stern–Brocot 트리와 동일하게, 초기 기저 ((e_{1},e_{2}))에서 두 기본 변환 ((x,y)\mapsto(x,x+y))와 ((x,y)\mapsto(x+y,y))을 반복함으로써 전부 생성된다. 이러한 트리 구조를 이용해 “텔레스코핑”을 전개한다. 구체적으로, 함수 (F:SL_{+}(2,\mathbb Z)\to\mathbb R)를 찾아 \