Hilbert 공간 임베딩을 이용한 대규모 Monge 최적수송 딥러닝 솔루션

초록

본 논문은 확률분포를 Hilbert 공간에 임베딩하는 최대 평균 차이(MMD)를 제약 페널티로 활용해 Monge 최적수송 문제를 딥 뉴럴 네트워크로 근사한다. 비용함수는 $L^2$ 거리이며, 페널티 강도 $\lambda\to\infty$와 근사 오차 $\varepsilon_n\to0$ 조건 하에 제안된 방법이 실제 최적수송 지도 $T^*$에 수렴함을 정리 2.1로 증명한다. 실험에서는 2차원 합성 데이터와 기존 POT 라이브러리 대비 GPU 가속 성능을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 Monge 문제를 전통적인 선형계획법이나 엔트로피 정규화 기반 Sinkhorn 알고리즘과는 다른 경로로 접근한다. 핵심 아이디어는 확률 측정의 Hilbert 공간 임베딩을 이용해 두 분포 사이의 차이를 MMD라는 RKHS 기반 거리로 정량화하고, 이를 제약식 대신 페널티 항으로 삽입한다는 점이다. 이때 사용된 커널은 가우시안 및 Matérn 등 양정밀도(strictly positive definite) 조건을 만족하는 것이 보장되어 MMD가 실제 메트릭임을 확보한다.

제안된 최적화 목표는
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