일반 스캐터링 양자보행의 동적 국소화

초록

본 논문은 임의의 무한 그래프 위에 정의된 스캐터링 양자보행에 독립적인 위상 무작위성을 부여한 뒤, 큰 무질서(강한 난류) 영역에서 동적 국소화를 증명한다. 핵심은 일반적인 무작위 유니터리 연산자에 대해 분수 모멘트 추정과 고유함수 상관계(eigenfunction correlator) 사이의 새로운 관계를 도입하고, 이를 스캐터링 양자보행에 적용한 것이다.

상세 분석

논문은 먼저 유니터리 연산자 (U)의 고유함수 상관계(EC)를 (\mathcal Q(\psi,\phi;I)=\sup_{|F|_\infty\le1}\langle\psi,F(U)\phi\rangle) 로 정의하고, 이 양이 자기adjoint 경우와 동일한 성질을 갖는 것을 보인다. 특히 (\mathcal Q)는 시간진화 (U^n)의 평균값을 제한하고, RAGE 정리와 결합하면 연속 스펙트럼의 소멸을 확인할 수 있다.

다음으로 그래프 ((V,E)) 위에 정의된 일관된(random) 유니터리 패밀리 ({U_F}{F\in\mathcal F})를 도입한다. 여기서 각 부분그래프 (F)에 대해 경계 연산자 (T{E,F}=U_E-U_F\oplus U_{F^c}) 를 정의하고, (F)가 점점 커질 때 (T_{E,F})가 강하게 0으로 수렴하면 유한 부피 근사들의 스펙트럼 측정이 약하게 수렴함을 증명한다.

핵심 정리(Theorem 1)는 두 가지 가정을 전제로 한다. 첫째는 분수 모멘트 추정
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