선형 역문제에서 배치 기반 베이지안 최적 실험 설계와 워터스테인 흐름 최적화

초록

본 논문은 선형 베이지안 역문제에서 센서 위치와 같은 설계 변수를 동시에 최적화하는 배치 설계 문제를 다룬다. 기존의 비볼록 최적화 어려움을 극복하기 위해 설계 변수를 유한 양의 측도 공간으로 완화하고, 이를 베이지안 A‑optimal 설계와 연결시킨다. 워터스테인 그래디언트 흐름을 이용한 입자 기반 알고리즘을 제안하고, 설계 측도의 수렴을 보장하는 새로운 정규화 기법을 도입한다. 이론적 수렴 결과와 1‑차원 포아송 및 2‑차원 슈뢰딩거 역문제에 대한 수치 실험을 통해 제안 방법의 효율성을 검증한다.

상세 분석

논문은 먼저 연속 도메인 X 위에 센서 위치 x 를 선택해 선형 연산자 A 와 가우시안 잡음 ε 을 포함하는 관측 모델 y(x)=A f(x)+ε 을 설정한다. 베이지안 관점에서 사전 f∼N(0,C_f) 를 두면, 관측 후의 사후는 역시 가우시안이며 A‑optimal 설계는 사후 공분산의 트레이스를 최소화하는 문제와 동치이다. 그러나 다중 센서(배치) 설계는 변수 수가 늘어나면서 비볼록성이 급격히 악화된다. 이를 해결하기 위해 저자들은 설계 변수를 Dirac 측도 δ_x 가 아닌, 총 질량 B 를 갖는 유한 양의 측도 μ∈𝔐⁺(X) 로 확장한다. 이 완화는 기존 빈도주의 A‑optimal 설계의 목적함수 Tr