적응형 행동 예측 제어와 행켈 가중치 없는 상태 자유 규제

초록

본 논문은 스트리밍 데이터만을 이용해 실시간으로 동작하는 적응형 행동 예측 제어(ABPC) 프레임워크를 제안한다. 커널 기반 재귀 최소제곱(RLS)으로 LPV‑ARX 예측 모델을 온라인 식별하고, 이를 고정하여 유한 예측 호라이즌에 대한 토플리츠 연산을 수행한다. 비용 함수는 양의 정부호이며, 차콜스 분해를 통해 닫힌 형태의 최적 입력 시퀀스를 얻는다. 배치 방식의 행켈 행렬 구성이나 반복적인 QP 해결이 필요 없으며, 커널 사전 선택에 따라 비선형 시스템(해머스틴, NARX 등)에서도 우수한 제어 성능을 보인다.

상세 분석

ABPC는 기존 적응형 예측 제어(PCA C)와 행동 기반 제어의 장점을 결합한 새로운 구조를 제공한다. 핵심 아이디어는 (1) 커널‑RLS를 이용해 LPV‑ARX 형태의 일계 예측기를 실시간으로 업데이트하고, (2) 업데이트된 파라미터를 일정 호라이즌(N) 동안 고정(freeze)함으로써 다계 예측을 토플리츠 행렬 형태로 전개한다는 점이다. 이때 토플리츠 연산은 전통적인 행켈 행렬 구축을 대체하며, 메모리와 계산량을 크게 절감한다.

커널 사전은 입력‑출력 과거 벡터 sₖ에 적용되며, 상수 항을 포함하거나 제외할 수 있다. 상수 항이 포함될 경우 인터셉트 블록을 한 번만 삽입해 중복 열을 방지하고, 비상수 커널과 기본 신호 ψₖ 사이의 교차항을 통해 비선형 특성을 효과적으로 포착한다. 이렇게 구성된 특성 벡터 zₖ는 선형 파라미터 θ와 곱해져 출력 예측 ȳₖ=Θzₖ를 만든다. RLS 업데이트 식(12)–(14)은 정규화된 최소제곱 문제를 푸는 형태이며, 고정된 감쇠 계수 λ과 티크노프 항을 통해 수치적 안정성을 확보한다.

예측 단계에서는 LPV‑ARX 계수 Cₖ, Aₖ,ᵢ, Bₖ,ᵢ를 현재 시점의 커널 값 γⱼ(sₖ)와 사전 파라미터 ˆC, ˆA, ˆB의 선형 결합으로 계산한다. 이 계수들은 호라이즌 동안 고정되므로, 다계 예측은 (I‑T_y)⁻¹·(σₖ+T_uU) 형태의 선형 시스템으로 표현된다. 여기서 T_y는 하위 삼각 토플리츠 행렬이며, (I‑T_y)⁻¹은 단순히 전방 대입을 통해 구할 수 있다.

제어 목적 함수는 출력 추적 오차와 입력 변화량을 각각 Q_y, R_u로 가중한 2차식이며, H=GᵀQ_yG+ DᵀR_uD 로 정의된 헤시안은 R_u≻0이면 양정정부호를 보장한다. 따라서 최적 입력 시퀀스 U는 H·U = –h 를 차콜스 분해 후 전방·후방 대입으로 즉시 구할 수 있다. 이 과정은 반복적인 QP 해결을 필요로 하지 않으며, 실시간 제어에 적합한 계산 복잡도(O(N³)에서 O(N²) 수준)와 수치 안정성을 제공한다.

실험에서는 Hammerstein 구조와 NARX 구조를 포함한 다양한 비선형 시스템에 대해 사전 선택이 중요한 영향을 미침을 확인했다. 다항식 커널은 시스템이 다항식 형태일 때 높은 표현력을 보였으며, RBF 커널은 일부 선형 구간에서 약간의 성능 향상을 제공했다. 반면, 급격한 진동이나 사인형 비선형성을 갖는 시스템에서는 사전이 모델링 능력을 충분히 포착하지 못해 조건수가 악화되고 성능이 저하되었다. 이러한 경우, 상수 사전(단위 사전)만을 사용해도 내부 모델 구조를 암묵적으로 포착해 안정성을 유지할 수 있었다.

ABPC는 다음과 같은 장점을 가진다. 첫째, 배치 행켈 행렬을 구성하지 않으므로 메모리 요구량이 크게 감소한다. 둘째, 커널‑RLS와 토플리츠 기반 예측을 결합해 실시간으로 파라미터를 업데이트하면서도 닫힌 형태의 최적 제어 입력을 얻는다. 셋째, 커널 사전 선택을 통해 비선형 시스템에 대한 표현력을 조절할 수 있어, 모델링 오류와 제어 성능 사이의 트레이드오프를 명시적으로 탐색할 수 있다. 다만, 현재는 수학적 안정성·강인성 증명 대신 수치 실험에 의존하고 있으며, 장기적인 수렴성 및 외란에 대한 내성을 이론적으로 분석할 필요가 있다.