라디얼 포텐셜을 갖는 라플라시안의 디리클레 고유쌍을 위한 메쉬프리 수치법

초록

본 논문은 원점을 포함하는 2차원 유한 영역에서 라디얼 포텐셜 V(r)을 갖는 연산자 (-\Delta+V)의 디리클레 고유값·고유함수를 메쉬를 사용하지 않고 근사하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 영역을 둘러싼 원판에 대해 극좌표와 푸리에 전개를 이용해 각 모드별 1차원 ODE를 얻고, 이를 1차원 FEM으로 해결해 기저함수를 생성한다. 이후 테스트 파라미터 (\lambda)에 대해 경계값의 L²-노름을 최소화하는 선형 결합을 찾음으로써 고유값을 식별한다. 이 방법은 전통적인 FEM 대비 메모리 사용량이 크게 감소하고, 영역이 바뀌어도 기저함수를 재사용할 수 있다.

상세 분석

논문은 먼저 (-\Delta+V) 연산자의 디리클레 고유문제 ((- \Delta u + V(|x|)u = \lambda u,; u|_{\partial\Omega}=0))를 정의하고, 기존의 Method of Particular Solutions(MPS)가 라플라시안((V=0))에만 적용 가능했던 이유를 상세히 분석한다. 라플라시안의 경우 원판 내부에서 Bessel 함수가 정확한 해를 제공하지만, 일반적인 (C^1) 라디얼 포텐셜에서는 이러한 명시적 해가 존재하지 않는다. 이를 극복하기 위해 저자는 영역 (\Omega)를 포함하는 반경 (R)의 원판 (B_O(R))를 선택하고, (\lambda)를 미세하게 격자화한 뒤 각 (\lambda)에 대해 방정식 (-\Delta u + V u = \lambda u)를 경계조건 없이 풀어본다.

극좌표 ((r,\theta))와 푸리에 전개 (u(r,\theta)=u_{c0}(r)+\sum_{j=1}^{J}