고유변형을 이용한 균열 성장 근사

초록

본 논문은 작은 매개변수 ε와 변위장 u, 고유변형장 γ 두 개의 장을 이용한 에너지 함수 Eε를 정의하고, 시간 이산화와 비가역성 조건을 적용한 최소화 스킴을 통해 ε→0 한계에서 Griffith 에너지에 대응하는 정적 균열 진화를 엄격히 증명한다.

상세 분석

이 연구는 기존의 Griffith 기반 균열 모델을 직접 해석하기 어려운 자유 불연속 문제에 대해, 고유변형(eigendeformation)이라는 보조 변수를 도입함으로써 수치적으로 다루기 쉬운 근사 체계를 구축한다. 핵심 아이디어는 변위장 u와 고유변형장 γ를 동시에 최적화하여, γ가 0이 아닌 영역에서는 변위의 불연속이 자유롭게 발생하도록 하고, 그 대가로 ε‑이웃집합 Uε({γ≠0})의 부피에 비례하는 표면 에너지를 부과한다. 이는 기존 위상장(phase‑field) 접근과 유사하지만, 두 장을 독립적으로 다루어 변위와 균열 사이의 상호작용을 보다 명시적으로 표현한다는 점에서 차별화된다.

논문은 먼저 ε와 격자 크기 h가 연관된 조건 h(ε)/ε→0 하에서, 에너지 함수 Eε,h가 Γ‑수렴하여 Griffith 에너지 E(u)=∫ΩQ(∇u)dx+κℋ^{d‑1}(Ju)로 수렴함을 기존 결과(