무한대 자유곱의 무작위 표현 강수렴과 스펙트럼 갭

초록

본 논문은 유한군들의 자유곱 Γ=G₁*⋯G_m에 대해, 무작위 동형 ϕ_N:Γ→Sym(N) 를 표준 전표현(std)과 합성한 π_N이 좌정규표현 λ에 강하게 수렴함을 보인다. 기존 다항식 방법을 확장하여, 트레이스 기대값의 전개가 N의 정수가 아닌 분수 거듭제곱을 포함하는 경우에도 적용 가능한 새로운 가설을 제시하고, 이를 자유곱에 대해 검증한다. 결과적으로, 관련 무작위 Schreier 그래프들의 스펙트럼 반경을 정확히 계산하고, C₂C₂C₂에서는 거의 라마누잔(expanders) 거동을, C₂C₃≅PSL₂(ℤ)에서는 비라마누잔 한계를 얻는다.

상세 분석

이 연구는 최근 급부상한 ‘다항식 방법(Polynomial Method)’을 torsion(유한 차수 원소) 존재 상황으로 일반화한다는 점에서 혁신적이다. 기존 방법은 기대 트레이스 E