고차원 비볼록 파레토 전선 탐색을 위한 해밀턴‑자코비와 차동 게임 접근법

초록

본 논문은 다목적 최적화(MOO) 문제의 파레토 전선을 고차원에서 효율적으로 탐색하기 위해, 선호 함수에 기반한 스칼라화 문제를 파라미터화된 영-합 게임의 가치 함수에 삽입하고, 그 상위 가치가 만족하는 1차 해밀턴‑자코비(HJ) 방정식의 Hopf‑Lax 표현식을 이용한다. 제안된 원시‑쌍대 알고리즘은 파라미터별 내부 최소화 해를 구해 약한 파레토 최적점을 생성하며, 차원 저주를 다항식 시간으로 완화한다. 수치 실험은 100차원 의사결정 공간에서 연속적인 비볼록 파레토 곡선을 100초 내에 드러낼 수 있음을 보여준다.

상세 분석

이 연구는 기존 가중합 스칼라화가 비볼록 파레토 전선의 비볼록 부분을 포착하지 못한다는 한계를 극복하기 위해, ‘선호 함수 g’ 를 이용해 ℓ(u) 에 대한 변형 스칼라화 g∘ℓ 를 정의하고, 이를 파라미터 λ∈dom(g*) 로 표현한 뒤 영‑합 차동 게임의 상위 가치 V⁺(x,t) 로 전환한다. V⁺는 연속적인 시간 t 에 대해 HJ‑Isaacs 방정식 ∂ₜV⁺−H⁺(x,∇V⁺)=0 을 만족하며, H⁺는 min‑max 형태의 Hamiltonian 으로 구성된다. 핵심 이론적 기여는 V⁺가 Hopf‑Lax 공식
V⁺(x,t)=inf_{y(·)} sup_{λ(·)} {∫₀ᵗ