K₅와 K₅‑e의 라므시 수 정확값: R(K₅, K₅‑e) 30

초록

본 논문은 라므시 수 R(K₅, K₅‑e)를 정확히 30으로 규명한다. 기존에 30‒33 사이로만 알려졌던 값을, R(4, 4.5)와 R(5, 3.5) 그래프의 완전 조사, 선형 계획식 활용, 그리고 그래프 결합(gluing)과 SAT‑solver 기반의 대규모 컴퓨터 검증을 통해 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 R(K₅, K₅‑e)를 R(5, 4.5)라는 표기법으로 정의하고, 이 값이 30‒33 사이에 있다는 기존 결과를 인용한다. 저자들은 R(5, 4.5, 30) 집합이 비어 있음을 보이면 충분하다고 판단하고, 이를 위해 두 종류의 하위 라므시 그래프 집합인 R(4, 4.5)와 R(5, 3.5)의 완전 검열을 수행한다. 표 1에 제시된 바와 같이, 각 n에 대해 가능한 그래프 수와 가장자리 수 구간을 기록하고, 이를 기반으로 선형 계획식, 즉 “에지 방정식”(2 e(F‑v) ≤ v(F+v)(n‑2v(F+v)) + 2 e(F+v))을 도입한다. 이 방정식은 어떤 정점 v에 대해 F‑v와 F+v가 각각 R(5, 3.5)와 R(4, 4.5)에 속하도록 제한함으로써, 가능한 정점 차수 d를 14‒18 사이로 강제한다. 차수별 (d₁,d₂) 쌍에 대해 (14,15), (15,14), (16,13), (17,12), (18,11) 등 5가지 경우를 나누어 상세히 분석한다.

각 경우마다 그래프 결합(gluing) 절차를 설계한다. G∈R(5, 3.5, n₁)와 H∈R(4, 4.5, n₂)를 선택하고, 새로운 정점 x를 추가해 F‑x=G, F+x=H가 되도록 가능한 “feasible cone” 집합을 탐색한다. 여기서는 K₅와 K₄·5(=K₅‑e) 발생을 방지하기 위해 8가지 충돌 규칙(E′₃, E′₄ 등)을 정의하고, 각 규칙을 비트 연산과 사전 계산 테이블을 이용해 효율적으로 적용한다. 또한, “interval of feasible cones”