카운터블 알파벳에서 지정된 서로 다른 자리수 성장의 차원 전이

초록

본 논문은 가중치가 정규변동하는 전 Branch 전형적인 가산 이터레이션 함수계에서 생성되는 무한자리수 전개에서, 서로 다른 기호의 등장 개수(다양성)의 성장 속도를 선형 혹은 아선형으로 지정했을 때 해당 집합들의 Hausdorff 차원을 정확히 구한다. 선형 성장률을 강요하면 차원이 꼬리 지수 ρ에 의해 결정된 1/ρ 로 급격히 감소하고, 반면 ρ<1인 경우를 제외한 모든 아선형 성장률에서는 차원이 전체(1) 를 유지한다는 ‘위상 전이’를 보인다.

상세 분석

이 연구는 먼저 ℕ 를 알파벳으로 하는 전 Branch affine IFS(Iterated Function System)를 정의하고, 각 브랜치의 길이 p_k 가 확률분포를 이루도록 설정한다. p_k 가 정규변동(tail index ρ≥1)이라고 가정하면, p_k ≍ k^{-ρ}L(k) 형태의 꼬리 행동을 갖는다. 이러한 가정 하에, Lebesgue 측도에 대해 디지털 과정 d_n 은 i.i.d.이며, 각 d_n = k 일 확률이 p_k 와 동일하다. 따라서 서로 다른 기호의 개수 D_n 은 무한-urn 점유 모델의 ‘occupied boxes’ 수와 동치가 된다. 기존 점유 이론에 따르면, 평균적인 성장률은 D_n ~ C·n^{1/ρ} (γ‑함수와 L(k) 로 정밀히 표현)이며, LIL 형태의 미세 변동도 얻을 수 있다.

논문의 핵심은 이 평균적 성장률을 벗어나는 ‘예외 집합’의 기하학적 크기를 Hausdorff 차원으로 측정하는 것이다. 두 종류의 집합을 정의한다. 첫째, 선형 성장률 θ∈(0,1] 를 만족하는 E_θ = {x : lim_{n→∞} D_n(x)/n = θ}. 둘째, 아선형 성장률을 지정하는 admissible 함수 f (단조, 차분 ≤1, f(n)·log f(n)/n →0) 에 대해 E_f = {x : lim_{n→∞} D_n(x)/f(n)=1}.

정리 1은 E_θ 의 차원이 dim_H(E_θ)=1/ρ 임을 보인다. 증명은 두 단계로 나뉜다. (i) 하한: 블록 연결(concatenation) 기법으로, 각 블록 안에서 새로운 기호가 정확히 ⌊θ·block length⌋ 번 등장하도록 설계한다. 정규변동성에 의해 해당 블록들의 확률을 하한화하고, 이를 이용해 마스 분포 원리를 적용해 차원 하한을 1/ρ 로 얻는다. (ii) 상한: Hausdorff‑Cantelli 커버링과 정규변동 꼬리의 ‘tilting’ 변환을 이용해, θ보다 큰 점유 비율을 갖는 구간들의 합계가 차원 1/ρ 보다 큰 집합을 만들 수 없음을 보인다.

정리 2는 모든 admissible f 에 대해 dim_H(E_f)=1 임을 증명한다. 여기서는 블록을 충분히 크게 잡아 f(n) 에 비해 새로운 기호가 거의 매 블록마다 하나씩만 추가되도록 구성한다. 정규변동 꼬리의 느린 감소와 f의 아선형 성장 조건이 결합되어, 각 블록의 확률이 충분히 크므로 마스 분포 원리로 전체 차원을 1 로 유지한다.

특히, Corollary 1은 다항식 형태 f(n)=n^β (0<β<1) 혹은 선형 성장률이 0 으로 수렴하는 경우에도 차원이 전부 1 임을 보여, Wu–Xie(연속분수)에서 관찰된 ‘full‑dimension’ 현상이 독립·동일분포 디지털 모델에서도 그대로 나타남을 확인한다.

이 논문은 기존 연속분수와 Lüroth 전개에 대한 결과를 일반적인 가산 IFS 로 확장함으로써, 점유 이론과 정규변동 꼬리 분석을 결합한 새로운 차원 전이 현상을 제시한다. 결과는 꼬리 지수 ρ 가 1 인 경우(예: p_k ∼ C/k)에는 선형 성장률도 차원 1 로 유지되지만, ρ>1이면 차원이 1/ρ 로 급격히 감소한다는 정량적 경계선을 제공한다. 이는 무한 알파벳 디지털 전개에서 ‘다양성’ 제어가 확률적 꼬리 특성에 얼마나 민감한지를 명확히 보여준다.