시나리오 배치 GPU 커널로 동적계획법을 대규모 확률 조합 최적화에 적용하기

초록

본 논문은 시나리오 기반 샘플 평균 근사(SAA)에서 NP‑hard 정수형 2단계 문제를 GPU‑가속 동적계획법(DP) 커널로 동시에 수백만 개 시나리오에 대해 해결함으로써 1~5자리 수의 속도 향상을 달성하고, 이를 차량 라우팅 분할과 재고 재삽입 문제에 적용해 의사결정 품질을 크게 개선한다.

상세 분석

이 연구는 “시나리오‑배치”라는 새로운 패러다임을 제시한다. 전통적인 SAA에서는 첫 단계 결정이 고정되면 각 시나리오에 대한 2단계 정수 최적화가 독립적으로 수행되어 CPU 기반에서는 수천수만 개 시나리오가 한계였다. 저자들은 동적계획법의 벨만 업데이트를 (min,+) 세미링에서 행렬‑벡터 곱 형태로 재구성하고, 이를 GPU의 워프·블록 수준에서 동시에 수행하도록 커널을 설계했다. 핵심은 세 차원의 병렬성을 동시에 활용한다는 점이다. 첫 번째 차원은 시나리오 수(수십만백만)이며, 두 번째 차원은 각 DP 단계에서 가능한 전이(전 단계 상태 → 현재 상태)이며, 세 번째 차원은 전이마다 존재할 수 있는 여러 라우팅 옵션이나 재고 보충 옵션이다.

구현에서는 (min,+) 연산을 텐서 브로드캐스팅과 마스크된 최소화 연산으로 구현하고, 불가능한 전이는 +∞ 로 마스킹한다. 시나리오 × 전이 2D 구조는 CUDA 블록을 시나리오에, 워프를 전이 집합에 매핑해 워프 내 최소화(reduction)를 수행한다. 재고 재삽입 문제처럼 전이마다 여러 후보 라우트가 존재하는 경우에는 3D 구조(시나리오 × 전이 × 옵션)로 확장해 옵션 차원에서도 워프‑레벨 최소화를 먼저 수행한 뒤 전이 차원에서 다시 축소한다.

두 가지 실험 사례—(i) 확률적 차량 라우팅에서의 split operator와 (ii) 주문‑업‑투‑정책 하의 재고 재삽입 DP—에서 제안 방법은 시나리오 수가 10⁶까지 선형적으로 확장되며, CPU 기반 MILP 혹은 기존 DP 구현 대비 10¹10⁵ 배의 속도 향상을 보였다. 특히 재고 재삽입에서는 45자리 수의 가속을 기록했으며, 메모리 사용량은 11 GB GPU 기준 10⁶ 시나리오를 충분히 수용할 수 있음을 확인했다.

속도 향상이 직접적인 의사결정 품질 개선으로 이어졌다. 동일 시간 예산 내에서 탐색 가능한 첫 단계 후보 수와 시나리오 샘플 수가 크게 늘어나면서, SAA 해의 목표값이 일관되게 감소하였다. 이는 “더 많은 시나리오 = 더 정확한 기대값 추정”이라는 전통적인 SAA 이론과 완벽히 부합한다. 또한, 제안된 GPU‑DP 프레임워크는 기존의 연속 최적화 가속 기법과 달리 이산 조합 구조를 그대로 유지하면서도 대규모 병렬성을 확보한다는 점에서 학문적·실무적 의미가 크다.