구간 (1, 2) 내 거듭제곱 정수집합의 시돈 꼬리 특성

초록

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본 논문은 $S_x={\lfloor x^n\rfloor:n\in\mathbb N}$의 큰 $n$에 대한 부분집합이 시돈 집합이 되는지를 조사한다. 측도론적 방법으로 $x\in(1,2)$에 대해 거의 모든 경우에 꼬리가 시돈임을 보이고, 반대로 $x$를 $1$에 가깝게, $r$를 $2$에 가깝게 잡아 꼬리가 시돈이 되지 않는 구체적인 예를 제시한다.

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상세 분석

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논문은 먼저 $S_x$가 $x>1$이면 결국 단조 증가함을 이용해 큰 $n$만을 고려한다. 두 서로 다른 네 쌍 $(a,b,c,d)$에 대해 $\lfloor x^a\rfloor+\lfloor x^d\rfloor=\lfloor x^b\rfloor+\lfloor x^c\rfloor$가 성립하면 $|x^a+x^d-x^b-x^c|<2$가 된다. 이를 $y=1/x$로 바꾸어 다항식 $P_{u,v,w}(y)=1+y^u-y^v-y^w$의 절댓값이 $2\beta^d$ 이하가 되는 $y$의 집합을 조사한다. 여기서 $u=d-a$, $v=d-c$, $w=d-b$이며 $0<v\le w\le u$. $d$가 충분히 크면 $v$는 일정 상수 $V$ 이하로 제한되고, $u$가 큰 경우에는 $P_{u,v,w}$가 급격히 감소하므로 해당 구간의 길이가 $O(\beta^d)$로 억제된다. $u$가 유한 범위에 머무는 경우에는 다항식의 근을 이용해 길이가 $O(\beta^{d/U})$ 이하가 된다. 결국 각 $d$에 대해 충돌이 일어나는 $x$의 측정값이 $\ll d^2\beta^{d/U}$이며, 이를 $d$에 대해 합하면 유한값이 된다. Borel‑Cantelli 보조정리를 적용하면 거의 모든 $x\in(1,2)$에 대해 충분히 큰 $N$ 이후의 ${\lfloor x^n\rfloor}$는 시돈 집합이 된다.

다음으로 꼬리가 시돈이 되지 않는 예를 만든다. $x_0$를 $t^3-t-1=0$의 실근(플라스틱 상수)라 하면 $x_0\approx1.3247$이며, $T_n:=x_0^n+\alpha^n+\bar\alpha^n\in\mathbb Z$(여기서 $\alpha,\bar\alpha$는 복소근)로 정의한다. $x_0^n$와 $T_n$ 사이의 차이는 $2|,\alpha|^n=2x_0^{-n/2}$이므로 $n$이 충분히 크면 $\lfloor x_0^n\rfloor=T_n-u_n$이며 $u_n\in{0,1}$이다. $u_n$의 패턴을 $\cos(n\omega)$와 연결시키고, $\omega/\pi$가 무리수임을 보인다. 그러면 $\cos(n\omega)$가 양·음이 교대로 나타나는 무한히 많은 $n$이 존재해 $u_{n+4}+u_n=u_{n+3}+u_{n+2}$가 성립하고, 이는 $\lfloor x_0^{n+4}\rfloor+\lfloor x_0^{n}\rfloor=\lfloor x_0^{n+3}\rfloor+\lfloor x_0^{n+2}\rfloor$라는 비자명한 충돌을 만든다. 따라서 $S_{x_0}$는 꼬리 시돈이 아니다. Lemma 3.2에 의해 $x_k:=x_0^{1/k}$도 같은 성질을 가지므로 $1$에 임의로 가깝게 꼬리 시돈이 아닌 $x$를 얻는다.

마지막으로 $2$에 가까운 경우를 다룬다. $k$가 홀수일 때 $f_k(x)=x^k-x^{k-1}-\dots-x-1$의 실근 $\tilde\alpha_k$는 $k\to\infty$이면 $2$에 수렴한다. $\tilde\alpha_k$의 다른 근들은 절댓값 $<1$이므로 $T_n:=\sum_{j=1}^k\tilde\alpha_k^{nj}\in\mathbb Z$를 정의하고, $E_n:=\sum_{j=2}^k\tilde\alpha_k^{nj}=2\rho^n\cos(n\omega)+\text{작은 항}$ 로 전개한다. 여기서 $\rho<1$, $\omega\in(0,\pi/k)$이며 $\omega/\pi$가 무리수임을 보인다. $\cos(n\omega)$가 양·음이 일정 구간에서 지속되면 $E_n,E_{n+k},E_{n+k+1}$가 모두 양(또는 모두 음)인 무한히 많은 $n$이 존재한다. 그러면 $u_n:=\mathbf 1_{E_n>0}$가 $u_n=u_{n+k}=u_{n+k+1}$를 만족하고, 이는 $\lfloor\tilde\alpha_k^{n+k+1}\rfloor+\lfloor\tilde\alpha_k^{n}\rfloor=\lfloor\tilde\alpha_k^{n+k}\rfloor+\lfloor\tilde\alpha_k^{n+1}\rfloor$라는 충돌을 만든다. 따라서 $S_{\tilde\alpha_k}$는 꼬리 시돈이 아니며, $k$를 크게 잡으면 $\tilde\alpha_k$는 $2$에 임의로 가깝다.

결과적으로, (1,2) 구간에서 “거의 모든” $x$는 꼬리 시돈이지만, $1$에 가깝거나 $2$에 가깝게 선택한 특정 대수적 $x$는 꼬리 시돈이 아니다. 또한 논문은 “꼬리 시돈이 아니면 $x$는 대수적”이라는 강한 명제를 언급한다.

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