확률적 단조 포함 문제를 위한 추상 스키마의 수렴 분석

초록

본 논문은 힐베르트 공간에서 최대 단조 연산자를 포함하는 포함 문제를 해결하기 위한 추상적인 확률적 스키마를 제안한다. 두 연산자에 대한 그래프의 확률적 근사와 무작위 완화 파라미터를 허용하며, 약한 거의 확실 수렴과 L² 수렴을 보인다. 제안된 프레임워크는 확률적 근접점 알고리즘, 무작위 블록‑반복 투사 분할법, 그리고 확률적 쿠흔‑투커 분할법 등 다양한 기존 방법들의 확률적 변형을 일관되게 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 문제 1.1을 설정한다. 여기서 W 는 최대 단조 연산자, C 는 α‑코코시브 연산자로 가정하고, Z=zer(W+C)≠∅ 인 경우 0∈Wx+Cx 를 만족하는 x 를 찾는 것이 목표이다. 기존의 전방‑후방 알고리즘은 W 의 resolvent가 직접 계산 가능할 때만 적용 가능하지만, 실제 응용에서는 W 가 복합 연산자이거나 고차원 곱공간에 정의되어 있어 직접 접근이 어려운 경우가 많다. 이를 극복하기 위해 저자들은 W 의 그래프 상의 점을 확률적으로 샘플링하는 방식을 도입한다.

알고리즘 1.2는 결정적 템플릿으로, 임의의 (wₙ,wₙ*)∈gra W와 qₙ∈H 를 선택하고, tₙ* = wₙ* + Cqₙ 를 정의한다. 이후 Δₙ 과 θₙ 을 이용해 방향 dₙ 을 구성하고, 완화 파라미터 λₙ∈]0,2