타원곡선 대칭멱과 메리디언 모듈러 형식의 푸리에 계수에 대한 초동치와 초초동치

초록

본 논문은 레벨 1의 메리디언(극점이 하나인) 모듈러 형식들의 푸리에 계수에 대해 다양한 합동 관계를 제시한다. 일반 경우에는 해당 형식들이 타원곡선의 대칭멱과 연결되고, CM 경우에는 Chowla‑Selberg 주기의 p‑adic 아날로그와 연관된 초초동치를 보인다. 주요 도구로는 하이퍼지오메트리, Borcherds‑Shimura 사다리, 그리고 ASD(Atkin‑Swinnerton‑Dyer) 합동이 사용된다.

상세 분석

논문은 먼저 무극점이 하나인 레벨 1 메리디언 모듈러 형식 (f(\tau)=\sum a_n q^n) 에 대해 “magnetic” 성질을 정의한다. 즉 모든 양의 정수 (n) 에 대해 (n^r\mid a_n) 인 경우를 (r)-magnetic이라 부른다. Li‑Neururer와 Pasol‑Zudilin의 결과를 이용해 (E_4(j)) 와 (E_4(j-1728)) 가 1‑magnetic임을 확인하고, Borcherds‑Shimura lift를 통해 이 성질을 일반적인 무극점이 CM인 경우까지 확장한다.

다음으로는 (p\ge5) 인 좋은 소수에 대해 (a_{np^l}(E_4(j)-c)) 와 특정 하이퍼지오메트리 급수 사이의 초초동치 \