유한 자원 풀에서 두 TASEP의 정지밀도와 확산된 도메인벽

초록

본 연구는 두 개의 비평행 TASEP가 각각 유한 용량을 가진 두 개의 입·출구 저장소와 연결된 모델을 고전적 평균장 이론과 대규모 몬테카를로 시뮬레이션으로 분석한다. 대칭적인 입·출구 파라미터 α, β와 전체 입자 수를 나타내는 충전 인자 µ를 제어 변수로 삼아, 두 차선이 동일한 정지밀도를 갖는 네 가지 기본 위상(LD‑LD, HD‑HD, MC‑MC, DW‑DW)을 도출한다. 특히, 기존 TASEP 변형에서 α=β인 경우에만 선형으로 나타나는 ‘확산된 도메인벽(DDW)’이 본 모델에서는 α와 β의 연속적인 영역에 걸쳐 존재함을 확인하였다. 이는 열역학적 극한에서도 차선 내 입자 수가 크게 변동한다는 의미이며, 저장소 간 인구 불균형은 나타나지 않는다. 위상 전이선은 MFT와 시뮬레이션이 일치하며, 전이는 연속적(LD↔MC, HD↔MC) 혹은 불연속적(LD↔HD)으로 구분된다.

상세 분석

본 논문은 제한된 자원 풀을 갖는 두 개의 비평행 TASEP(총칭 T₁, T₂)를 서로 반대 방향으로 배치하고, 각각의 양 끝을 유한 용량을 가진 저장소 R₁, R₂와 연결한 시스템을 다룬다. 입·출구 속도는 저장소 내 입자 수 N₁, N₂에 의존하도록 αᵢ^eff = α f(Nᵢ), βᵢ^eff = β g(Nⱼ) (i≠j) 형태로 정의했으며, 여기서 f(N)=N/L, g(N)=1−N/L 로 단순화하였다. 전체 입자 수 N₀는 보존되며, 충전 인자 µ = N₀/(2L) 로 전체 자원 가용성을 한 눈에 파악할 수 있다.

평균장 이론(MFT)에서는 두 차선의 평균 밀도 ρᵢ(j) 를 연속적인 변수 ρᵢ(x) 로 전환하고, 정지 상태에서 전류 Jᵢ = ρᵢ(1−ρᵢ) 가 일정함을 이용한다. 저장소 간 전류 균형식 dN₁/dt = J₂−J₁ = −dN₂/dt 로부터 정지 상태에서는 J₁=J₂=J 가 성립한다. 이 조건은 두 차선의 밀도가 동일하거나(ρ₁=ρ₂) 혹은 상보적(ρ₁+ρ₂=1)임을 의미한다. 대칭적인 입·출구 파라미터(α₁=α₂=α, β₁=β₂=β)를 선택함으로써, 경계 조건 ρᵢ(0)=αᵢ^eff, ρᵢ(1)=1−βᵢ^eff 가 동일하게 되며, 결과적으로 ρ₁=ρ₂ 가 강제된다. 따라서 가능한 위상은 LD‑LD, HD‑HD, MC‑MC, 그리고 DW‑DW 네 가지뿐이다.

DW‑DW 위상은 전통적인 TASEP에서 α=β<½ 일 때만 한 점에 존재하는 ‘확산된 도메인벽(DDW)’과 달리, 현재 모델에서는 α와 β가 특정 범위(α,β<½, α≈β) 내에 있을 때 연속적인 영역을 형성한다. 이는 입·출구 속도가 저장소 인구에 의해 동적으로 조절되면서, 두 차선이 동시에 낮은(또는 높은) 밀도 영역과 높은(또는 낮은) 밀도 영역을 공유하게 되기 때문이다. 도메인벽은 차선 전체를 가로지르는 이동형 밀도 쇼크로, 평균장 수준에서는 위치가 자유롭게 변동하므로 ‘확산된’이라고 부른다.

전이선은 MFT에서 전류 연속성 조건 J(α,β,µ)=J′(α′,β′,µ) 로부터 도출된다. LD↔MC, HD↔MC 전이는 ρ가 연속적으로 변하므로 2차 전이이며, LD↔HD 전이는 ρ가 불연속적으로 바뀌어 1차 전이로 분류된다. µ가 증가하면 전체 자원 가용성이 높아져 전류가 증가하고, DDW 영역이 µ에 따라 좌우로 이동한다. 특히 µ→2(완전 포화)에서는 모든 입구가 포화되어 αᵉᶠᶠ→α, βᵉᶠᶠ→0이 되며, 시스템은 HD‑HD 위상으로 수렴한다. 반대로 µ→0에서는 LD‑LD 위상이 지배한다.

수치적으로는 대규모 몬테카를로 시뮬레이션을 수행해 평균밀도 프로파일, 전류, 그리고 도메인벽 위치의 확률분포를 측정하였다. 시뮬레이션 결과는 MFT 예측과 정량적으로 일치했으며, 특히 DDW 영역에서 입자 수 변동이 O(L) 수준으로 크게 나타나 열역학적 극한에서도 비정상적인 플럭투에이션이 존재함을 확인했다. 그러나 저장소 인구 변동은 L에 비해 O(1/L) 로 감소해, 저장소 자체는 거의 고정된 값을 유지한다는 점이 흥미롭다.

이러한 결과는 제한된 자원 풀을 갖는 생물학적 시스템(예: 리보솜·mRNA, 미세소관·모터)이나 교통 흐름(한정된 차량 수)에서, 자원 가용성이 변할 때 시스템 전체가 급격히 전이하거나 지속적인 플럭투에이션을 보일 수 있음을 시사한다. 또한, 기존 TASEP 변형에서 관찰되지 않았던 ‘확산된 도메인벽이 넓은 파라미터 영역에 존재한다’는 현상은 비평행 연결 구조와 동적 입·출구 조절이 결합될 때 새로운 비평형 위상 구조가 생성될 수 있음을 보여준다.