혼합 분수 블랙 숄즈 모델의 하이브리드 추정법 및 랜덤 효과 분석

초록

본 논문은 혼합 분수 블랙-숄즈(SFB) 모델에 내재된 고정 파라미터(σ, γ, H)와 개별 랜덤 효과(ϕ_i)를 이산 시계열 데이터로부터 동시에 추정하는 하이브리드 방법을 제안한다. 일반화 모멘트법(GMM)으로 전역 파라미터를 강일 일관성과 정규성을 확보하고, 플러그인 방식으로 ϕ_i를 추정한다. 마지막으로 Chebyshev‑Gauss 노드와 라그랑주 보간을 이용한 비모수 추정기로 랜덤 효과의 분포함수 F를 복원한다. 이론적 증명과 시뮬레이션, 그리고 암호화폐 수익률 데이터 적용을 통해 실효성을 검증한다.

상세 분석

본 연구는 N개의 독립적인 확률 과정 X_i(t) (i=1,…,N)이 표준 브라운 운동 B_i(t)와 독립적인 분수 브라운 운동 B_i^H(t)의 선형 결합 M_i^H(t)=σB_i(t)+γB_i^H(t) 로 구동되는 혼합 분수 블랙‑숄즈(SFB) 모델을 고려한다. 각 과정은 dX_i(t)=ϕ_i X_i(t)dt+X_i(t)dM_i^H(t) 로 기술되며, 여기서 ϕ_i는 관측되지 않은 랜덤 효과이며 동일한 분포 F를 가진다. 로그 변환 Y_i(t)=log X_i(t)=θ_i t+M_i^H(t) (θ_i=ϕ_i−σ²/2) 로 변환함으로써 추정 문제를 선형 형태로 단순화한다.

1. 전역 고정 파라미터 추정

   • 이산 관측 ΔY_i,k=θ_i h+ΔM_i,k (k=0,…,n−1) 를 이용해 GMM을 구성한다.
   • GMM 모멘트는 (i) 1차 모멘트(평균)와 (ii) 2차 모멘트(분산 및 자기공분산) 를 포함한다.
   • H∈(½,¾) 구간을 가정함으로써 Breuer‑Major 정리를 적용해 2차 모멘트의 제한 분산이 유한함을 보장하고, 이를 통해 (σ,γ,H) 추정량의 강일 일관성 및 공동 정규성을 증명한다.
   • 두 단계 비대칭 asymptotics(먼저 n→∞, 이후 N→∞)을 채택해, 각 과정의 고주파 정보가 충분히 축적된 뒤 전체 표본을 확대함으로써 추정 효율을 극대화한다.

2. 개별 랜덤 효과 ϕ_i 추정

   • θ_î = (1/nh)∑_{k=0}^{n-1}ΔY_i,k 로 정의된 평균 기반 추정량은 강일 일관성을 갖는다.
   • 플러그인 방식으로 σ̂,γ̂,Ĥ를 대입해 ϕ_î = θ_î + σ̂²/2 로 계산한다.
   • Δ-method와 다변량 중심극한정리를 이용해 ϕ_î 의 점근적 정규성을 도출하고, N→∞ 상황에서 랜덤 효과들의 표본 평균이 F의 모멘트와 일치함을 보인다.

3. 비모수 분포 추정

   • 랜덤 효과의 분포 F는 컴팩트 구간