증분 충돌 법칙의 확장과 외력 적용

초록

본 논문은 기존 Bouc‑Wen 기반 증분 충돌 법칙을 외력 입력을 포함하도록 확장하고, 파라미터 공간의 경계값(예: B = 0, γ = ±B, 1 < p < 2 등)에서도 해의 존재·유일성과 유계성을 증명한다. 또한 비정규화·정규화 모델을 모두 제시하고, 새로운 실험 데이터와 기존 데이터에 대한 파라미터 식별을 수행해 모델의 예측 정확성을 검증한다.

상세 분석

본 연구는 두 종류의 증분 충돌 법칙, 즉 Bouc‑Wen‑Simon‑Hunt‑Crossley Collision Law (BWSHCCL)과 Bouc‑Wen‑Maxwell Collision Law (BWMCL)을 기반으로 한 모델을 고전적인 접촉력 전용 프레임에서 외부 힘을 시간‑의존 입력으로 포함시키는 형태로 일반화한다. 외력 입력 u(t)은 연속 함수 공간 U₁(∫|u|<∞) 혹은 유계 연속 함수 공간 U∞에 속하도록 가정함으로써, 실제 로봇 팔이나 차량 충돌 시 발생하는 구동력·중력·제어 입력을 자연스럽게 모델링한다.

수학적으로는 기존의 비정규화 방정식(1)·(2)에 u(t) 항을 추가하고, 상태 변수 x, z, y, r 등과의 연계 구조를 유지한다. 증분 법칙은 비선형 출력 함수와 Bouc‑Wen 히스테리시스 요소를 병렬·직렬로 결합한 형태이며, 파라미터 α, β, γ, n, p, A, k, c 등은 물리적 의미(점탄성, 비선형 감쇠, 히스테리시스 강도 등)를 갖는다.

주요 이론적 기여는 다음과 같다. 첫째, 외력 입력이 포함된 시스템에 대해 존재·유일성 정리를 증명하고, 해가 유계임을 보장한다. 이는 미분 방정식의 Lipschitz 연속성 조건을 외력 입력의 함수 공간에 맞게 확장함으로써 달성되었다. 둘째, 파라미터 공간의 경계값—특히 B=0(점탄성 요소가 사라지는 경우), γ=±B(히스테리시스 비대칭 최대치), 1<p<2(비선형 강성 지수의 하한)—에 대해서도 동일한 해석적 성질이 유지됨을 보였다. 이러한 “코너 케이스”는 실제 재료가 거의 완전 탄성 혹은 강한 비선형 감쇠를 보이는 상황을 포괄한다.

정규화된 형태(NDB‑W​SHCCM, NDB‑W​MCM)에서는 차원 없는 변수 X, Z, V 등을 도입해 파라미터 간 스케일링을 명시적으로 제시한다. 이를 통해 수치 시뮬레이션 시 시간·길이·힘 스케일을 자유롭게 선택할 수 있다. 또한, 출력 함수 (R,Y,Z,W)→(X,V) 등을 정의해 상대 변위·속도와 접촉력을 동시에 얻을 수 있게 하였다.

파라미터 식별 부분에서는 기존 논문에서 사용한 실험 데이터(예: Fig. 9.5 in Ref.