베이지안 분해와 베스코프 사전을 이용한 두 성분 이미지 복원

초록

본 논문은 선형 베이지안 역문제에서 매끄러운 성분과 조각상수 성분을 각각 베스코프 사전으로 모델링하고, 하이퍼파라미터를 자동 추정하는 두 가지 방법을 제안한다. 하나는 Haar 파동을 이용한 조각상수 베스코프와 고차 Daubechies 파동을 이용한 매끄러운 베스코프를 결합한 모델이며, 다른 하나는 그래디언트에 계층적 가우시안 사전과 매끄러운 베스코프를 결합한 계층적 모델이다. Gibbs 샘플러와 NUTS를 이용해 사후분포를 추정하고, 1차원·2차원 디컨볼루션 실험에서 단일 사전 대비 재구성 품질이 향상됨을 보였다.

상세 분석

이 연구는 이미지 복원과 같은 선형 역문제에서 “카툰‑텍스처”와 같은 이질적인 구조를 동시에 복원하기 위해 베이지안 프레임워크를 채택한다. 핵심 아이디어는 전체 신호 f를 매끄러운 성분 h와 조각상수 성분 g의 합으로 분해하고, 각각에 맞는 베스코프 사전 π_prior(g)와 π_prior(h)를 부여함으로써 사전 정보가 자연스럽게 결합되도록 하는 것이다. 첫 번째 접근법은 두 개의 서로 다른 파동기반 베스코프 사전을 직접 결합한다. 조각상수 성분에는 Haar 파동을 사용해 급격한 변화를 강조하고, 매끄러운 성분에는 고차 Daubechies 파동을 사용해 고차 미분까지 제어한다. 이때 사전 강도 파라미터 λ_g, λ_h를 하이퍼파라미터로 두고, NUTS(HMC 기반) 샘플러를 이용해 사후분포를 효율적으로 탐색한다. NUTS는 로그 사후가 거의 everywhere 미분 가능하다는 점을 활용해 자동 스텝 사이즈 조정과 무작위 전진·후진을 제공한다.

두 번째 접근법은 계층적 모델을 도입한다. 여기서는 g의 급격한 변화를 그래디언트에 대한 계층적 가우시안 사전(스파스한 라플라시안)으로 모델링하고, h는 매끄러운 베스코프 사전으로 유지한다. 하이퍼파라미터(예: 가우시안 사전의 정규화 파라미터와 베스코프 강도 λ_h)를 역전파 없이 Gibbs 샘플링으로 추정한다. 특히, 조건부 사후분포가 닫힌 형태를 갖거나 Randomize‑Then‑Optimize(RTO) 기법으로 샘플링이 가능하도록 설계하였다.

두 모델 모두 파라미터 간 상호 의존성(특히 서로 다른 파동기반 베스코프 사이의 높은 상호 코히어런스)으로 인한 식별성 문제를 인식하고, 하이퍼파라미터에 대한 적절한 사전(예: 감마 분포)과 사후 샘플링 전략을 통해 다중극성(posterior multimodality)을 완화한다. 실험에서는 1‑D 및 2‑D 디컨볼루션 시나리오에서, 신호에 급격한 점프와 부드러운 구간이 동시에 존재할 때, 제안된 두‑베스코프 모델이 단일 베스코프 모델에 비해 PSNR 및 구조적 유사도(SSIM)에서 유의미하게 개선됨을 확인하였다. 또한, 하이퍼파라미터가 자동으로 추정되어 사전 강도 균형이 데이터에 맞게 조정되는 모습을 시각적으로도 확인할 수 있었다.

이 논문은 베이즈 추론을 통해 복합 구조 신호의 분해와 불확실성 정량화를 동시에 달성한 점, 그리고 베스코프 사전과 계층적 가우시안 사전의 결합을 통해 자동 파라미터 튜닝을 구현한 점에서 기존 변분 기반 방법론과 차별화된다. 또한, Gibbs 샘플링과 NUTS를 적절히 혼합한 샘플링 파이프라인은 고차원 베스코프 사전의 비정규화된 사후분포를 효율적으로 탐색할 수 있는 실용적인 도구로 활용 가능하다.