볼과 구형 쉘이 Sobolev 추적 상수에 최적임을 입증하고 안정성을 정량화

초록

본 논문은 고정된 주변 길이를 갖는 볼이 Sobolev 추적 연산자 (W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q}(\partial\Omega))의 최적 상수 (\sigma_{p,q}(\Omega))를 최대화한다는 등변형 불등식을 증명하고, 그 차이를 Hausdorff 비대칭 지표로부터 하한을 얻는다. 또한 외부 추적 연산자에 대해, 외부 주변 길이와 부피를 고정한 경우 구형 쉘이 최적임을 보이며, 하이브리드 비대칭 함수를 이용해 정량적 안정성을 제공한다.

상세 분석

논문은 두 개의 주요 문제를 다룬다. 첫 번째는 고정된 주변 길이(perimeter)를 갖는 볼이 Sobolev‑trace 상수 (\sigma_{p,q})를 최대화한다는 등변형(isoperimetric) 불등식이다. 여기서 (1<p<\infty)와 (1\le q\le p)를 가정하고, (\Omega)가 볼록(convex) 집합일 때 (\sigma_{p,q}(\Omega^{\star})\ge\sigma_{p,q}(\Omega))를 보인다. (\Omega^{\star})는 (\Omega)와 동일한 주변 길이를 갖는 볼이다. 증명은 먼저 (\sigma_{p,q})의 변분적 정의(최소화 문제 (1))를 이용해, 최소함수 (w)가 p‑라플라시안 (-\Delta_p w)와 경계 조건 (|\nabla w|^{p-2}\partial_\nu w=\lambda |w|^{q-2}w)을 만족함을 확인한다. 볼에 대해서는 방사형 해가 존재하고, 그 해는 단조 감소함을 보인다. 이후 웹 함수와 퀘르마신테그랄(quermassintegrals) 이론을 활용해, 임의의 볼록 집합을 내부/외부 평행집합으로 근사하고, 방사형 최소함수와 비교함으로써 에너지 차이를 Hausdorff 비대칭 (A_{\star H}(\Omega))와 연결한다. 결과적으로
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