조화 삼항식 방정식의 매개변수 공간과 트로코이드 곡선

초록

본 논문은 서로소인 양의 정수 (n,m) 과 복소계수 (b,c) 를 갖는 조화 삼항식 (z^{n+m}+b\overline{z}^{,m}+c=0) 의 매개변수 공간을 분석한다. Bohl 정리와 Egerváry 정리의 조화판을 이용해 단순근, 중근, 그리고 서로 다른 근이 동일한 절댓값을 가질 때 나타나는 곡선을 기술하고, 이 곡선들을 ‘트로코이드’라 명명한다. 또한 근의 절댓값 순서에 따른 집합 (U_j) 와 그 보완의 위상·기하학적 성질을 조사한다.

상세 분석

논문은 먼저 조화 삼항식 (h(z)=a z^{n+m}+b\overline{z}^{,m}+c) 에 대해 Bohl 정리의 두 가지 경우를 정리한다. 즉, (|c|>|a|v^{n+m}+|b|v^{m})이면 반지름 (v) 내에 근이 없고, (|a|v^{n+m}>|b|v^{m}+|c|)이면 최대 (n+3m) 개의 근이 존재한다는 점을 이용해 근의 개수와 위치를 반지름 (v) 에 대한 부등식으로 구분한다. 이어서 (|a|v^{n+m},|b|v^{m},|c|)가 삼각형을 이루는 경우에는 각 (w_1,w_2) 와 피벗 (P^*) 를 정의해 근의 개수를 정확히 계산한다. 이 과정에서 피벗이 정수이면 추가적인 근이 발생한다는 미묘한 조건이 등장한다.

다음으로 Egerváry 정리를 조화 삼항식에 적용해 두 방정식이 회전·스케일 변환에 의해 동등함을 판정하는 기준을 제시한다. 구체적으로 (|a_1|,|a_2|=|b_1|,|b_2|=|c_1|,|c_2|)와 각도 관계
(m(\alpha_1\pm\alpha_2)+(n+m)(\beta_1\pm\beta_2)-(n+2m)(\gamma_1\pm\gamma_2)\equiv0\pmod{2\pi})
가 만족될 때 두 방정식이 Egerváry 동등임을 보인다. 이는 매개변수 공간을 동일한 궤도로 묶어 분석할 수 있게 해준다.

핵심 결과는 매개변수 (b) 또는 (c) 를 고정했을 때 근의 절댓값 (v) 에 따라 나타나는 곡선이 ‘트로코이드’ 형태라는 점이다. (b)를 고정하면 (|c|)가 변할 때 근이 존재하는 영역은 원점 중심의 원형 궤적을 따라 회전하는 점이 직선(또는 원) 위를 구르는 궤적, 즉 일반적인 hypotrochoid 혹은 epitrochoid 식으로 기술된다. 이때 파라미터 (R,r,d) 는 (n,m)과 (|a|,|b|,|c|)에 의해 명시적으로 결정된다.

또한 두 근이 동일한 절댓값을 가질 경우, 매개변수 (b)가 특정 각도로 뻗어 있는 ‘광선 집합’ 위에 놓여야 함을 보인다. 이 광선은 (\theta_k=(n+2m)\gamma + k\pi/(n+m)) 형태로, (k=0,\dots,2(n+m)-1)에 대해 전부가 서로 다른 방향을 만든다. 따라서 매개변수 (b)가 이러한 광선 위에 있으면 근이 중복 절댓값을 갖고, 그렇지 않으면 절댓값이 서로 다른 근이 최대 두 개만 존재한다.

마지막으로 근의 절댓값 순서에 따른 집합 (U_j) (즉, (j)번째와 (j+1)번째 근의 절댓값이 서로 다른 경우)를 정의하고, 조화 삼항식이 가질 수 있는 최대 근의 개수가 (n+3m)임을 이용해 (U_j)의 위상 구조를 분석한다. 주요 정리들은 (U_j)가 매개변수 공간에서 열린 집합이며, 그 보완은 트로코이드와 광선이 교차하는 경계에 해당한다는 것을 보인다. 특히 (U_j)의 경계는 Jacobian이 0이 되는 임계곡선(반지름 (\sqrt