밴드 교차를 활용한 유클리드 TSP 상수 상한 개선

초록

본 논문은 무작위로 생성된 단위 정사각형 내 n개의 점에 대한 유클리드 TSP 상수 β의 상한을 기존 0.90380에서 0.90367으로 엄격히 낮추고, 밴드 교차 전략을 도입한 새로운 휴리스틱을 통해 향후 β를 약 0.85 수준까지 끌어내는 가능성을 시뮬레이션과 집중도 분석으로 제시한다.

상세 분석

이 연구는 베어드우드·할턴·해머슬리(BHH) 정리에서 정의된 상수 β의 정확한 값을 알 수 없다는 점에 착안한다. 기존 상한은 Carlsson·Yu(2024)의 “튜플 최적화” 접근법으로, 가로 밴드 내에서 k+1개의 점을 묶어 최적 순열을 찾는 방식이었다. 저자들은 먼저 Monte‑Carlo 시뮬레이션과 서브감마·Hoeffding 불평등을 이용한 집중도 분석을 통해 k=4, h≈3.75일 때 얻어지는 기대 상한 bβ₄≈0.8845이며, k를 8까지 확대하면 약 0.8622까지 감소한다는 사실을 확인한다. 그러나 이 방법은 여전히 밴드 내부에 국한돼, 밴드 경계 근처의 점들을 다른 밴드와 연결할 기회를 놓친다. 이를 보완하기 위해 “밴드 교차” 전략을 제안한다. 구체적으로, 인접 밴드에 위치한 두 점이 수직 거리 h/√n 이하로 가깝다면, 해당 점들을 서로 연결한 2‑사이클을 형성하고, 나머지 점들은 기존 튜플 순열에 따라 처리한다. 삼각 부등식을 이용해 이 2‑사이클이 실제 TSP 투어보다 길이가 길어도 전체 투어 길이의 상한을 낮출 수 있음을 증명한다. 시뮬레이션 결과, k=4에서 eβ₄≈0.869, k=8에서 eβ₈≈0.850으로 기존 튜플 최적화보다 일관되게 우수함을 확인했다. 마지막으로, 수치 적분과 결정 트리 기반 영역 분할을 정교히 수행해 엄격한 상한 β≤0.90367을 도출했으며, 이는 이전 최상한보다 0.00013만큼 개선된 것이다. 논문은 또한 현재 튜플 최적화가 도달할 수 있는 한계가 약 0.88임을 보여, 향후 개선 여지는 밴드 교차와 같은 구조적 혁신에 달려 있음을 강조한다.