드리프트 무작위화 Milstein‑Galerkin 유한요소법을 이용한 반선형 확률 진화 방정식의 강수렴 분석

초록

본 논문은 비선형 드리프트 항에 대한 미분 가능성 가정을 배제하고, 다중노이즈가 포함된 반선형 확률 진화 방정식에 대해 드리프트 무작위화 Milstein‑Galerkin 유한요소 스키마(DRMGFE)의 강수렴성을 rigorously 입증한다. 시간적 강수렴률은 $O(\Delta t^{1-\varepsilon_0})$이며, 공간적 오류는 $O(h^{2-\varepsilon_0})$ 수준이다. 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하였다.

상세 분석

이 연구는 기존 Milstein 기반 고차 시간 스키마가 드리프트 항의 $C^2$‑미분 가능성을 필요로 하는 한계를 극복하고자, 무작위화된 내부 단계 $t_{n,\xi}=t_{n-1}+\xi_n\Delta t$ 를 도입한 DRMGFE 스키마를 제안한다. 핵심 아이디어는 $\xi_n\sim U(0,1)$ 로 선택된 무작위 시간점에서 드리프트 $F$ 를 평가함으로써, Itô‑Taylor 전개 없이도 평균 제곱 오차를 $O(\Delta t^{1-\varepsilon_0})$ 로 억제할 수 있다는 점이다. 이를 위해 저자들은 마팅게일 차등 불등식과 $L^p$‑정규성, 그리고 연산자 세미그룹 $S(t)=e^{-tA}$ 와 이산 연산자 $S_{h,\Delta t}$ 사이의 추정식(2.9‑2.11)을 정교히 활용하였다.

특히, 확산항 $G$ 에 대해서는 (2.3)–(2.6)의 강한 가정을 두어, $G$ 와 그 1차·2차 프레셰 미분이 유계이며, $G’(v)G(v)$ 가 Hilbert‑Schmidt 공간에 속함을 보장한다. 이러한 가정은 Milstein 스키마에서 필수적인 이중 적분 항을 정확히 근사할 수 있게 하며, 무작위화된 드리프트 단계와 결합될 때 오류 전파를 효과적으로 제어한다.

시간 오류 분석에서는 $u(t_n)-u_{n}^{h}$ 를 $e_n^{(1)}+e_n^{(2)}$ 로 분해하고, $e_n^{(1)}$ (공간 근사 오류)와 $e_n^{(2)}$ (시간 근사 오류)를 각각 $h^{2-\varepsilon_0}$ 와 $\Delta t^{1-\varepsilon_0}$ 로 추정한다. 특히, 무작위화 단계에서 발생하는 기대값 차이 $\mathbb{E}_\xi