공통 정점 서브그래프 최대화 문제의 매개변수 복잡도 연구

초록

두 그래프에서 고립 정점이 없는 공통 서브그래프를 최대 크기로 찾는 문제(MaxComSubG)가 NP‑hard임을 보이고, 목표 정점 수 h를 매개변수로 하는 FPT 알고리즘을 제시한다. 이후 정점 커버, 최대 차수, 트리깊이, 경로폭, 트리폭 등 구조적 매개변수에 대해 개별 및 조합 매개변수화에 대한 완전한 복잡도 이분법을 구축한다.

상세 분석

본 논문은 “Maximum Common Vertex Subgraph without Isolated Vertices”(MaxComSubG) 문제를 정의하고, 이 문제의 매개변수 복잡도 지형을 상세히 탐구한다. 먼저, 공통 서브그래프가 고립 정점을 포함하면 최소 |V(G1)|,|V(G2)| 중 작은 값만큼의 정점으로 trivial하게 최적해가 되므로, 고립 정점을 금지함으로써 문제를 비트리비얼하게 만든다. 이를 통해 MaxComSubG는 일반적인 Maximum Common Subgraph 문제보다 훨씬 어려워짐을 보인다. 논문은 먼저 h, 즉 찾고자 하는 서브그래프의 최소 정점 수를 매개변수로 하는 경우, 색상 코딩과 커버링 기법을 이용해 O(2^h·poly(n)) 시간의 FPT 알고리즘을 설계한다. 핵심 아이디어는 공통 서브그래프가 별 포레스트(star forest) 형태로 변환될 수 있다는 관찰을 이용해, 별의 중심과 잎을 선택하는 조합을 탐색하는 것이다.

다음으로 구조적 매개변수에 대한 복잡도 분석을 진행한다. 정점 커버 수 τ(G) 를 매개변수로 하면, MaxComSubG는 W