궤적 기반 데이터 구동 예측 제어와 상태공간 예측기

초록

본 논문은 최근 입력·출력 기록과 계획 입력을 이용해 출력 궤적을 선형으로 예측하는 궤적 기반 예측 제어(TPC) 프레임워크를 제시한다. 다양한 기존 DDPC 방법을 하나의 구조로 통합하고, 최근 입·출력 히스토리를 상태로 하는 LTI 상태공간 예측기를 도입해 TPC를 전통적인 MPC와 동일한 이론적 기반 위에 놓는다. 실험 결과, 특히 작은 학습 데이터셋에서 상태공간 예측기가 파라미터 수가 적어 성능이 우수함을 확인하였다.

상세 분석

논문은 먼저 DDPC를 직접형과 간접형으로 구분하고, 간접형 DDPC를 ‘궤적 예측 제어(TPC)’라는 통합 프레임워크로 재정의한다. TPC의 핵심은 출력 궤적 y_f(t) 를
y_f(t)=P z_p(t)+F u_f(t)+e_f(t)
와 같이 최근 입력·출력 히스토리 z_p(t)와 계획 입력 u_f(t)의 선형 결합으로 모델링하는 것이다. 여기서 P, F 는 학습 데이터로부터 최소제곱 혹은 정규화 문제를 풀어 추정한다. 이 구조는 비용·제약이 볼록이면 전체 최적화가 볼록 문제가 되며, 기존 DeePC가 활용하던 Willems의 기본정리와도 직접 연결된다.

다양한 기존 예측기(서브스페이스 예측기, γ‑DDPC, 인과‑γ‑DDPC 등)를 P와 F의 구체적 형태로 표현함으로써, TPC가 이들 방법을 특수 경우로 포함한다는 점을 체계적으로 증명한다. 특히 서브스페이스 예측기는 F 가 블록 상삼각이 아니어서 비인과성을 갖지만, LQ분해와 블록 하삼각화 연산을 통해 인과‑γ‑DDPC 형태로 ‘인과화’할 수 있음을 보인다.

핵심 기여는 ‘상태공간 예측기’를 제안한 것이다. 최근 m 스텝의 입·출력 히스토리를 상태 x(t) = z_p(t) 로 정의하고, 이를 기반으로 전통적인 LTI 상태공간 모델
x(t+1)=A x(t)+B u(t), y(t)=C x(t)+D u(t)
의 파라미터 A,B,C,D 를 직접 식별한다. 이렇게 얻은 P,F 는 정확히 상태공간 모델의 출력 예측 행렬과 일치하므로, TPC는 기존 선형 MPC와 동일한 구조가 된다. 따라서 안정성, 재귀적 실현 가능성, 강인성 등 MPC 이론을 그대로 적용할 수 있다.

실험에서는 2차원 다중입출력 시스템에 대해 다양한 학습 데이터 크기(수십~수백 샘플)와 잡음 수준을 변동시켰다. 상태공간 예측기를 사용한 TPC는 oracle H₂‑optimal 제어와 거의 동일한 성능을 보였으며, 특히 데이터가 적을 때는 파라미터 수가 적어 과적합 위험이 낮아 다른 예측기보다 우수했다. 반면 서브스페이스 기반 예측기는 데이터가 충분할 때는 비슷한 성능을 내지만, 작은 데이터셋에서는 불안정하거나 성능 저하가 뚜렷했다.

마지막으로 논문은 TPC가 직접형 DDPC(DeePC)와도 연결 고리를 갖는다는 점을 강조한다. DeePC는 α 벡터를 직접 최적화하지만, 최소노름 α̂ 을 사용하면 서브스페이스 예측기와 동일해진다. 따라서 TPC는 DeePC와 MPC 사이의 교량 역할을 수행한다. 향후 연구 방향으로는 비선형·시계열 변동 시스템에 대한 확장, 강인·확률적 제약 포함, 그리고 실시간 구현을 위한 계산 효율화가 제시된다.