스펙트럼 밀도 동등성 검정을 위한 비모수 두 표본 테스트

초록

본 논문은 서로 다른 길이를 갖는 두 가우시안 정상 시계열의 공분산 행렬(즉, 스펙트럼 밀도)의 동일성을 검정하는 비모수 검정법을 제안한다. 이 검정은 이산 코사인 변환과 구간화(binning)를 이용해 로그 스펙트럼을 추정하고, 평활 스플라인을 통해 L₂ 거리 통계량을 계산한다. 제시된 검정은 Hölder 클래스에 대해 최소극대(minimax) 최적의 분리율을 달성하며, R 패키지 sdf.test에 구현되어 시뮬레이션과 실제 EEG 데이터에서 우수한 성능을 보인다.

상세 분석

논문은 두 시계열 X₁, X₂가 각각 길이 n₁, n₂인 가우시안 정상 과정이라고 가정하고, 이들의 공분산 행렬이 동일한지(즉, 스펙트럼 밀도 f₁와 f₂가 같은지)를 검정한다. 기존 방법들은 주기그램 기반이라 편향은 작지만 일관성이 없고, 길이가 다른 시계열을 동시에 다루기 어려웠다. 저자들은 Klockmann & Krivobokova(2024)의 비모수 로그‑스펙트럼 추정기를 활용한다. 핵심은 다음 네 단계이다.

1. 이산 코사인 변환(DCT): 각 시계열을 DCT I 행렬 Dₖ에 곱해 Wₖ,j를 얻는다. Wₖ,j는 로그‑스펙트럼에 비례하는 감마 분포를 따르며, 서로 독립에 가깝다.
2. 구간화(binning): 두 시계열을 동일한 구간 수 T(=⌊n₁^{ν₁}⌋=⌊n₂^{ν₂}⌋) 로 재표본화한다. νₖ는 Hölder 지수 ηₖ와 연관된 범위 (1‑min{1,ηₖ}/3, 1) 안에서 선택된다. 이렇게 하면 길이가 달라도 동일한 xₜ = (t‑1)/T에 대한 관측값 Qₖ,t를 얻는다.
3. 분산 안정화 변환: Qₖ,t를 로그와 제곱근 변환을 거쳐 Yₖ,t를 만든 뒤, 대칭성을 이용해 2T‑2개의 관측값으로 확장한다. 이 과정에서 평균이 log fₖ(xₜ)에 비례하고, 분산이 1/mₖ(=T/nₖ)인 거의 독립적인 정규량으로 근사된다.
4. 평활 스플라인 추정: 변환된 데이터 Y*ₖ,t에 대해 차수 2q‑1의 주기 스플라인을 사용해 gₖ(x)=2^{-1/2} log fₖ(x) 를 추정한다. 최적화 문제 (5)에서 벌점 파라미터 hₖ와 차수 q를 조절하면 편향‑분산 균형을 맞출 수 있다.

추정된 ĝ₁, ĝ₂의 차이를 L₂ 평균 제곱으로 요약한 통계량
S = (1/T)∑_{t=1}^{T}