반전 토너먼트에서 전방 호를 최대화하는 해밀턴 사이클과 경로

초록

본 논문은 최소 차수가 $n/2$ 이상인 방향 그래프가 최소 $δ$ 개의 전방 호를 갖는 해밀턴 사이클을 포함한다는 Gishboliner‑Krivelevich‑Michaeli의 정리를 확장한다. 특히 반완전 다부파트ite 그래프와 국소 반완전 그래프에서 해밀턴 사이클·경로의 전방 호 개수를 최대로 하는 구조적 특성을 규명하고, 이를 이용해 다항시간 알고리즘을 제시한다. 일부 일반화 토너먼트에서는 이 최적화 문제가 NP‑hard임을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 “전방 호 최대화 문제”(MF‑AHOC/MF‑AHOP)를 정의한다. 주어진 방향 그래프 $D$ 가 해밀턴 사이클(또는 경로)을 포함한다면, 그 사이클(경로)에서 전방 호의 수 $\sigma^{+}$ 를 최대화하는 것이 목표이다. 최소 차수 $\delta(D)\ge n/2$ 조건 하에 해밀턴 사이클이 존재하고, 그때 $\sigma^{+}\ge\delta(D)$ 임을 Gishboliner 등이 conjecture했으며, Freschi‑Lo가 증명하였다.

하지만 $\delta(D)\ge n/2$ 조건을 완화하거나, 일반적인 토너먼트의 확장 클래스에 대해 최적 전방 호 수를 구하는 문제는 NP‑hard임을 보인다. 따라서 논문은 특수한 토너먼트 확장인 **반완전 다부파트ite 그래프(semicomplete multipartite digraph)**와 **국소 반완전 그래프(locally semicomplete digraph)**에 초점을 맞춘다.

1. 반완전 다부파트ite 그래프

• 정의: 완전 $p$‑부파트ite 그래프의 각 부파트ite 사이의 모든 정점 쌍에 대해 하나의 방향 혹은 양방향 호를 부여한 그래프.
• HC‑majority, HP‑majority 부등식:
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