퇴화 강제항을 가진 장애물 문제의 자유 경계 정규성 연구

초록

본 논문은 2차원 단위 원판 내에서 강제항 $f(x)=|x|$가 원점에서 퇴화하는 장애물 문제 $\Delta u = |x|\chi_{{u>0}}$를 다루며, Weiss의 에피페리미터 불평등을 확장해 자유 경계의 정규성을 분석한다. 에너지 감소와 블로업의 유일성, 약한 방향 단조성 등을 이용해 원점이 정규점일 경우 자유 경계가 그래프 형태로 $C^{1,\alpha}$가 아니라 코너를 가진 리프시츠 형태임을 보인다.

상세 분석

이 연구는 기존의 비퇴화 장애물 문제에서 사용되던 Weiss 에너지와 에피페리미터 불평등을, 강제항 $f(x)=|x|$가 원점에서 0이 되는 퇴화 상황에 맞게 일반화한다는 점에서 혁신적이다. 논문은 먼저 $u$가 $W^{1,2}{\text{loc}}$ 해이며 $C^{1,1}{\text{loc}}$임을 기존 결과와 동일하게 확보하고, 퇴화점 근처에서 비퇴화 경우와 달리 자유 경계의 구조가 복잡해짐을 지적한다. 핵심은 3차 동차 함수들의 클래스 $H$를 정의하고, 이들에 대해 에피페리미터 불평등
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