자기참조 지배집합 문제는 환원불가능

초록

이 논문은 Erdős‑Rényi 무작위 그래프 G(n,p)에서 지배집합 크기 k=ln n을 판별하는 문제가, 그래프의 n^c(0<c<1) 크기 이하의 부분그래프만을 살펴보아서는 결정할 수 없음을 보인다. 특정 p(n)을 선택해 지배집합 존재 여부를 몇 개의 가장자리만 바꾸는 대칭 변환으로 뒤바꿀 수 있음을 증명함으로써, 문제의 어려움이 전역 구조에 기인함을 강조한다.

상세 분석

논문은 먼저 지배집합 문제를 “환원가능/환원불가능”이라는 새로운 정의로 정형화한다. 여기서 환원가능이란, 그래프 G의 어떤 부분그래프 H(정점 수 ≤ n^c)가 존재해 H에 지배집합 크기 k가 존재하면 G에도 동일하게 존재한다는 의미이다. 저자는 이 정의 하에 G(n,p)에서 k=ln n인 경우 어떠한 c(0<c<1)도 만족하지 않음을 보인다. 핵심 아이디어는 두 종류의 인스턴스를 구성하는데, 하나는 크기 k의 유일한 지배집합을 가지고, 다른 하나는 크기 k의 지배집합이 전혀 없고 대신 k개의 정점이 모든 정점을 제외한 단 하나의 정점만을 놓친다. 이러한 두 인스턴스는 매우 작은 변환, 즉 네 개의 정점 사이의 네 개의 가장자리만을 교체하는 대칭 매핑(symmetry mapping)으로 서로 전환될 수 있다. 이 변환은 H에 포함된 정점들의 인접 관계를 전혀 바꾸지 않으므로, H만을 관찰하는 알고리즘은 두 경우를 구별할 수 없다.

수학적 증명은 두 단계로 이루어진다. 첫 번째 단계에서는 p를 적절히 선택(p≈1−e^{-(1−ε_n)ln2 n}/ln n)하여 기대값 E