K s와 mK t의 합과 K n 사이 라므시 수의 새로운 상한

초록

저자들은 고정된 정수 m≥1, t≥1, s≥0에 대해 라므시 수 R(K_s + mK_t, K_n)의 상한을 R(K_s + mK_t, K_n)=O!\left(\frac{n^{s+t-1}}{(\log n)^{,s+t-2}}\right) 로 증명하였다. 이는 Liu·Li(2026)의 “log log n” 요인을 제거한 결과이며, (s,t)=(0,3)인 경우 Kim(1995)의 R(K_3, K_n)=Θ(n²/ log n)과 일치해 최적임을 보였다.

상세 분석

이 논문은 라므시 이론에서 가장 기본적인 질문 중 하나인 두 그래프 G와 H 사이의 라므시 수 R(G, H)의 정확한 성장률을 탐구한다. 특히, G를 “K_s와 m개의 서로 독립적인 K_t의 합”인 K_s + mK_t 로 정의하고, H를 완전 그래프 K_n 으로 두었다. 기존 연구(Liu·Li, 2026)는 R(K_s + mK_t, K_n)에 대해 O!\left(\frac{n^{s+t-1}\log\log n}{(\log n)^{s+t-2}}\right) 라는 상한을 제시했으며, 여기서 log log n 요인이 남아 있었다. 저자들은 이 요인을 완전히 없애고, 단순히 O!\left(\frac{n^{s+t-1}}{(\log n)^{s+t-2}}\right) 로 개선한다.

핵심 아이디어는 두 단계의 귀납법이다. 먼저 s=0인 경우, 즉 단순히 mK_t 와 K_n 사이의 라므시 수는 기존의 K_t와 K_n 사이 라므시 수 결과를 이용해 바로 얻을 수 있다. 여기서 Ajtai‑Komlós‑Szemerédi의 삼각형 카운팅 정리와 Li‑Rousseau의 독립집합 하한 정리를 적절히 결합한다. s=1 단계에서는 K_1 + mK_t 를 금지하는 그래프 G가 존재한다고 가정하고, 최대 차수와 삼각형 개수를 정밀히 추정한다. 특히, G의 각 정점 v에 대해 서브그래프 G_v 가 mK_t 를 포함하지 않음에 따라 차수 상한 Δ ≤ C₀ n^{t-1}/(log n)^{t-2} 를 얻는다. 이후 삼각형 수 τ(G) 를 N₁Δ² − η 형태로 제한하고, Lemma 2.1을 적용해 독립집합 크기 α(G) ≥ n 을 도출함으로써 모순을 얻는다.

s≥2 인 경우는 귀납 가정에 의존한다. 가정에 따라 G_v 가 K_{s-1}+mK_t 를 포함하지 않으므로 평균 차수 d ≤ N_{s-1} 가 되고, 최대 차수 역시 N_{s-2} 로 제한된다. 여기서 Lemma 2.2를 사용해 α(G) ≥ N_s·log(d/(a+1))/d 형태의 하한을 얻는다. 이 하한은 충분히 큰 상수 C_s 를 선택하면 α(G) ≥ n 을 만족하게 되며, 이는 가정과 모순된다. 따라서 모든 s에 대해 제시된 상한이 성립한다.

특히 (s,t)=(0,3)인 경우, 기존 Kim(1995)의 결과 R(K_3, K_n)=Θ(n²/ log n)과 정확히 일치함을 확인함으로써 상한이 최적임을 보인다. 논문은 또한 t=1,2 경우는 Liu·Li의 이전 결과와 일치함을 언급하며, 전체적인 결과가 기존 연구들을 일반화하고 강화한다는 점을 강조한다.

이러한 접근법은 라므시 수의 상한을 다룰 때 “정점의 평균 차수와 이웃 서브그래프의 구조”를 동시에 제어하는 새로운 전략을 제시한다는 점에서 의미가 크다. 특히, 삼각형 카운팅 레마와 독립집합 하한 레마를 결합해 log log n 요인을 제거한 기법은 향후 다른 복합 그래프 구조에 대한 라므시 수 연구에도 적용 가능할 것으로 보인다.