짝수와 홀수의 경계: 유한 아벨 군에서 제한 합집합의 임계 수와 구조적 강직성

초록

본 논문은 유한 아벨 군에서 제한 합집합 Γₖ(A)의 전체 군 커버링을 보장하는 최소 원소 수, 즉 k‑critical number µₖ(G)를 완전히 규명한다. 짝수 차수 군에서는 2‑인덱스 부분군이 밀도 ½ 에서 절대적인 장벽을 형성해 µₖ(G)=|G|/2+1 을 보이며, 이는 군의 내부 구조와 무관한 보편적 강직성이다. 반면 홀수 차수 군에서는 이러한 장벽이 사라져 µₖ(G) 가 훨씬 낮은 밀도(주로 5‑인덱스 혹은 최소 소수 인덱스에 의해 제한)로 붕괴한다. 주요 결과는 두 정리(A, B)로 정리되며, 이를 통해 큰 q 에 대해 타원곡선 E/𝔽_q 위의 점 집합이 MDS 코드를 생성하려면 |P|≤|E(𝔽_q)|/2 임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 제한 합집합 Γₖ(A)= {α₁+…+αₖ : α_i∈A 서로 서로 다름} 의 대칭성(Lemma 1)을 이용해 k 와 |A|‑k 사이의 관계를 정리한다. 이어서 핵심적인 정규화 기법(Lemma 2)을 도입해, |A|> |G|/2 인 경우 A를 적절히 평행이동시켜 가장 큰 섬유가 2‑torsion 부분군 G