이진 문자열의 연속 구간(런) 체계적 열거와 확률적 확장

초록

본 논문은 이진 문자열에서 1‑런(연속된 1)과 0‑런을 포함한 다양한 런 종류에 대해 정확한 개수식, 재귀식, 생성함수를 체계적으로 구축한다. 제한된 길이, 허용 런 길이 구간, 해밍 가중치, 그리고 i.i.d. 베르누이 모델을 고려한 확률적 해석까지 포괄한다. 또한 얻어진 수열을 OEIS와 연결하고, 런 열거와 정수 합성 문제 사이의 관계를 밝힌다.

상세 분석

논문은 먼저 “런”을 Mo​od의 기준(동일 비트가 양쪽 경계 혹은 문자열 양끝에 의해 구분되는 최대 연속 구간)으로 정의하고, 0‑런(길이 0)까지 허용하는 확장된 개념을 도입한다. 이를 통해 (k≤ℓ)-런, (≥k)-런, (≤k)-런 등 다양한 길이 구간을 명시적으로 다룰 수 있다. 핵심은 n‑길이 이진 문자열이 정확히 m개의 (k≤ℓ)-런을 포함하는 경우의 수 w_{k≤ℓ}(n,m)를 구하는데, 저자는 먼저 존재조건 0≤m≤⌊(n+1)/(k+1)⌋을 제시하고, 남은 자유도 e=n−(mk+m−1)≥0을 도입해 재귀식을 전개한다.

주요 재귀식(7)은 시작 런의 길이 i에 따라 두 경우로 나뉜다. i가 허용 구간