구면 위 디랙 연산자에 대한 Lieb‑Thirring 부등식과 새로운 상수 추정

초록

본 논문은 n차 구면 (S^{n}) 위의 디랙 연산자 (/!!D) 에 대한 Lieb‑Thirring 형태의 부등식을 구축하고, 양극 스펙트럼과 전체 스펙트럼에 대한 최적 상수 (K_{S}^{n}) 및 (K_{S}^{\prime n}) 의 하한을 명시한다. 이를 바탕으로 기존에 알려진 구면 (S^{n}) 에 대한 고전적인 Lieb‑Thirring 상수 (k_{S}^{n}) 의 상한을 (n\ge5) 에서 개선한다.

상세 분석

논문은 먼저 구면 (S^{n}) 위에 정의된 디랙 연산자 (/!!D=\Gamma-\frac{n-1}{2}) (여기서 (\Gamma) 는 각운동량 연산자를 이용한 Gamma 연산자)와 그 스펙트럼 구조를 정리한다. (/!!D) 의 고유값은 (\pm\big(k+\frac{n}{2}\big)) ((k\in\mathbb N_{0}))이며, 각각의 고유값은 정확히 (2^{\lfloor n/2\rfloor}) 배의 다중도를 가진다. 이러한 명시적 스펙트럼을 이용해 양극 스펙트럼에 대한 투영 연산자 (\Lambda_{+}(/!!D)=\chi_{(0,\infty)}(/!!D)) 를 정의하고, 정규화된 표면 측정에 대해 (L^{2}) 정규 직교 함수군 ({\psi_{j}}_{j=1}^{N}\subset H^{1}(S^{n},\mathbb C^{d})) (평균값 0)에 대해 \