모든 차수의 사상 존재하는 genus‑2 곡선과 타원곡선 쌍의 완전 분류

초록

본 논문은 복소수체 위의 genus‑2 곡선 C와 타원곡선 E 사이에 차수 n>1인 사상이 모든 정수 n에 대해 존재하는 경우를 완전히 분류한다. 그 결과는 동형류에 따라 정확히 20개의 (C,E) 쌍만이 존재함을 보이며, 이들 쌍에 대응하는 사상들의 자유 ℤ‑모듈 구조와 차수 함수를 나타내는 4가지 이차형식도 제시한다. 또한 n=2부터 1811까지의 Humbert 표면 H_{n²} 교집합이 공집합임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 “모든 차수 n>1에 대해 C→E인 사상이 존재한다”는 가정을 통해 C의 Jacobian이 E와 또 다른 타원곡선 F의 곱을 2‑차 이성질체(그래프)로 나눈 것과 동등함을 보인다(정리 4, 명제 4). 이때 E와 F은 각각 복소곱수체에 대한 복소다중화(CM)를 갖고, 그 복소수 τ, σ는 각각 Γ(1), Γ(2)의 기본 영역 F₁, F₂에 놓인다. 저자는 Picard의 고전적인 결과를 현대적인 언어로 재해석해, Jacobian의 주기 행렬을
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