강인한 가우시안 위상 복원: 근선형 샘플 복잡도로 다중 오류 견디기

초록

본 논문은 가우시안 설계 하에서 중간 정도의 적대적 손상과 무거운 꼬리 잡음이 동시에 존재할 때, 다항 시간 알고리즘으로 위상 복원을 수행하고 샘플 복잡도를 ˜O(n) 수준으로 낮춘다. 핵심은 최신 강인한 PCA 기법을 이용한 스펙트럴 초기화와 기존의 강인한 그래디언트 하강법을 결합한 것이다.

상세 분석

위상 복원(Phase Retrieval) 문제는 관측값 y_i = ⟨a_i, x*⟩² + ζ_i 로부터 신호 x*∈ℝⁿ(부호는 무시) 를 복구하는 비선형 역문제이다. 기존 이론은 주로 가우시안 측정 a_i∼N(0,I)와 가우시안 잡음 혹은 작은 확률의 아웃라이어를 가정했으며, 효율적인 스펙트럴 초기화와 Wirtinger 흐름, SDP 등으로 다항 시간 복원을 보였다. 그러나 실제 시스템에서는 (1) 잡음이 무거운 꼬리를 가지고 평균이 0이지만 네 번째 모멘트만 제한되는 경우, (2) 전체 샘플의 일정 비율 ε이 적대적으로 변조될 수 있는 강인한 오염 모델이 동시에 발생한다. 이러한 복합 모델을 다루는 최초의 연구는 Buna·Rebeschini(2025)와 Dong et al.(2023)이며, 그들은 상위 고유벡터를 정확히 추정하기 위해 지수 시간 알고리즘을 사용하거나, ζ=0인 특수 경우에만 근선형 시간 솔버를 제시했다.

본 논문의 핵심 기여는 두 단계로 요약된다. 첫째, 강인한 PCA 결과(