PSU(3,q) 원시군의 Saxl 그래프와 Burness‑Giudici 추측

초록

본 논문은 소시(PSU(3,q))를 소심으로 갖는 원시 순열군에 대해 Burness‑Giudici 추측, 즉 모든 두 정점이 공통 이웃을 갖는다는 성질을 증명한다. 기하학적 구성과 확률적 방법, Weil 경계 등을 활용해 q가 충분히 큰 경우와 몇몇 예외적 경우를 모두 처리한다.

상세 분석

논문은 먼저 Saxl 그래프 Σ(G)의 정의와 기본 개념을 정리한다. b(G)=2인 원시군 G에 대해 Σ(G)의 정점은 Ω이며, 두 정점 α,β가 인접하려면 점 stabilizer G_α와 G_β의 교집합이 자명해야 한다. Burness‑Giudici(BG) 추측은 “모든 두 정점이 공통 이웃을 가진다”는 것으로, 이는 그래프가 직경 2임을 의미한다. 저자들은 rank 1 군군족, 특히 PSU(3,q) 경우에 초점을 맞춘다.

첫 단계는 G=PSU(3,q), M=PSO(3,q)인 경우를 다룬다. 여기서 Ω=