두 벡터 관측을 위한 와흐바 문제의 닫힌 형태 해법

초록

본 논문은 두 개의 순수 벡터(순수 쿼터니언) 관측에 대해 와흐바 비용함수가 0이 되는 모든 쿼터니언을 명시적으로 기술한다. 쿼터니언 유사성, 특이 실버스터 방정식 aq = qb, 그리고 쿼터니언 제곱근 사이의 관계를 이용해 존재 조건과 폐쇄형 파라미터화를 도출함으로써 기존의 4×4 행렬 고유값 분해나 반복법을 대체한다.

상세 분석

와흐바 문제는 두 좌표계 사이의 최적 회전을 찾는 최소제곱 문제로, 전통적으로 Davenport q‑method, QUEST, Horn, ESOQ 등에서 4×4 행렬의 최대 고유벡터를 계산한다. 이러한 접근법은 수치적이며 해의 구조적 특성을 드러내지 못한다. 저자들은 n = 2, 즉 두 개의 관측 벡터 쌍에 한정함으로, 쿼터니언의 대수적 특성을 직접 활용한다. 핵심 아이디어는 “쌍별 유사성(pairwise similarity)”이다. 두 순수 쿼터니언 a와 b가 존재하는 비영 제곱근 q에 대해 a q = q b, 즉 특이 실버스터 방정식 aq − qb = 0을 만족하면 a와 b는 유사(∼)하다고 정의한다. 기존 연구