비음수 맥클레인 블라소 확산 브리지와 특이 확산의 수학적 분석 및 어류 이동 적용

초록

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본 논문은 초기와 종말 시점이 고정된 비음수 맥클레인‑블라소 확산 브리지를 제안하고, 종말 시점에서 발산하는 특이 확산 계수를 포함한 MVSDE의 존재·유일성을 분석한다. 충분조건을 통해 강한 해의 존재와 연속·비음성성을 보이며, 2023‑2025년 10분 간격 어류 계수 데이터를 이용해 모델을 추정·시뮬레이션한다.

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상세 분석

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본 연구는 두 가지 혁신적인 요소를 결합한다. 첫째, 전통적인 Cox‑Ingersoll‑Ross(CIR) 과정의 구조를 차용하면서도 초기·종말 조건을 강제로 만족시키는 ‘확산 브리지’ 형태의 맥클레인‑블라소 확률 미분 방정식(MVSDE)을 정의한다. 이 방정식은
(dX_t =\bigl(a(t)-r(t)X_t-\frac{X_t}{T-t}\bigr)dt+\sigma(t)X_t^{\alpha}(T-t)^{-\alpha}dB_t)
와 같이 기술되며, 여기서 (\alpha>0)는 종말 시점에서 확산 계수가 얼마나 급격히 발산하는지를 조절한다. 두 번째 혁신은 이 특이 확산 항이 존재할 때도 해가 비음수이며 연속적으로 종말값(보통 0)으로 수렴하도록 하는 충분조건을 제시한 점이다.

주요 수학적 결과는 ‘Assumption 1’에 기반한다. (i) drift와 diffusion 계수 (a(t),r(t),\sigma(t))가 전역 Lipschitz 연속성을 만족하고, (ii) 재버전 계수 (r(t))와 공급 계수 (a(t))가 유계이며 양의 하한을 가진다. 가장 핵심적인 제한은 (\alpha)에 대한 ‘작은 특이성 조건’ (\alpha<\frac{1}{2r_{\max}}) (또는 (\alpha<\frac{1}{r_{\max}}) 등)이다. 이 조건이 충족되면, 확산 항이 종말에 무한대로 커지더라도 drift 항의 강제 복귀 효과가 변동성을 충분히 억제해 (X_T=0)을 확률 1로 보장한다. 반대로 (\alpha)가 이 한계를 초과하면, variance가 종말 시점에 0이 되지 않아 브리지 조건이 깨진다(정리 36, 부록 C).

해의 존재와 유일성 증명은 먼저 평균 과정 (\mathbb{E}