X₀(p)의 모든 비자명 사상은 위상동형 사상에 불과한다

초록

이 논문은 소수 수준 p에 대해, 차수가 2 이상인 비자명 사상 f : X₀(p) → Y( genus ≥ 2 ) 가 언제든 위윗곡선 X₀⁺(p)=X₀(p)/wₚ 로의 정규화 사상과 동형임을 보인다. p < 3000 에서는 전산·이론적 검증을 마쳤으며, 이를 바탕으로 차수 ≤ 25 인 점들, 특히 차수 6 점이 무한히 존재하는 소수 p 를 완전히 분류한다(단 p=193 은 미해결).

상세 분석

논문은 먼저 De Franchis–Severi 정리를 활용해 고정된 곡선 X에 대해 genus ≥ 2 인 목표곡선 Y 로의 비자명 정칙 사상의 개수가 유한함을 상기한다. 이를 X₀(p) 에 적용하면, 가능한 사상은 Jacobian J₀(p) 의 아벨리안 부분다양체와 직접 연결된다. Lemma 3.2·3.4 에서는 사상의 차수가 부분다양체에 유도된 편극(Polarization) 핵의 지수로 나누어짐을 보이고, Riemann–Hurwitz 식과 결합해 “exp(ker φ_A)·(2g′‑2) > 2g‑2” 일 경우 사상이 존재할 수 없음을 얻는다.

다음으로 Lemma 3.5 로, 소수 p 에서는 J₀(p) 가 단순 아벨리안 다양체들의 직합이며 각 성분이 중복 없이 한 번씩만 나타난다. 따라서 J₀(p) 의 Q‑정의 아벨리안 부분다양체는 정확히 2ᵏ 개( k = 단순 성분 수) 로 유한하다. 이 사실을 이용해 p ≤ 3000 에 대해 SageMath 로 모든 부분다양체를 열거하고, 각 경우에 대해 위의 지수 조건을 검사한다. 결과적으로 차수가 2 이상인 모든 사상은 반드시 wₚ‑불변 부분 J₀(p)⁺ 에 대응하는 부분다양체를 통해 유도되며, 이는 곧 X₀(p) → X₀⁺(p) 의 정규화 사상과 동형임을 보인다(정리 1.3).

정리 1.4 는 J₀(p) 가 A⁺⊕A⁻⊕A 형태로 분해될 때, A 의 차원이 2 이하이면 위와 같은 결론이 그대로 유지된다는 보다 일반적인 조건을 제시한다. 실제 데이터(LMFDB,