완전 그래프 분해에서 최대 평균 차수의 Nordhaus Gaddum형 정리

초록

본 논문은 완전 그래프 Kₙ을 k개의 스패닝 서브그래프로 분해했을 때 각 서브그래프의 최대 평균 차수(Mad)의 합을 최대로 하는 값을 M(k,n)이라 정의하고, 이 함수에 대한 상한·하한, 정확한 식, 그리고 k와 n이 큰 경우의 점근적 거동을 연구한다. 특히 M(2,n)의 정확한 값, k가 거의 전체 에지 수에 가까운 경우, 그리고 Steiner 시스템·디자인을 이용한 구성법을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 그래프 파라미터 p에 대해 k‑분해(p(k,G))를 정의하고, p를 최대 평균 차수(Mad)로 잡아 M(k,n)=max ∑_{i=1}^k Mad(G_i) (G_i는 Kₙ의 k‑분해) 를 연구한다. 기본 성질로 Mad(G)≥ed(G)≥d(G)임을 이용해 일반적인 상하한을 얻으며, 자유 에지(free edge) 개념을 도입해 M(k,n)의 단조성 및 작은 k에 대한 증강을 보인다. 핵심 결과는 다음과 같다.

1. 일반 상한: 연속 완화와 라그랑주 승수를 이용해 M(k,n) < √k·n 을 증명한다. 이는 Lemma 14와 Corollary 17에서 상세히 전개된다.

2. 정확한 값 M(2,n): 모든 n에 대해 M(2,n)=⌊n⌋+⌊n/2⌋−1 로서, 완전 그래프를 두 부분으로 나눌 때 한쪽은 완전 그래프 K_{⌊n/2⌋+1} 형태, 다른 쪽은 별도 구조가 최적임을 보인다 (Theorem 18).

3. k가 거의 전체 에지 수에 가까운 경우: k = C(n,2)−t (0≤t≤(n−1)²/3) 에 대해 M(k,n) = M_L(k, C(n,2)) − f(t) 로 정확히 계산한다 (Theorem 21, Section 5.2). 여기서 M_L는 리스트 변형으로, 동일한 에지 수 N을 k개의 그래프에 자유롭게 배분했을 때의 최댓값이다.

4. 리스트 변형 M_L(k,N)의 완전 결정: Theorem 20에서 N을 k·p²+q·p+r 형태로 표현하고, p,q,r의 범위에 따라 M_L(k,N)의 정확한 식을 제시한다. 이는 정수 계획 문제와 유사한 구조를 갖으며, 경우에 따라 ½·k·p 혹은 k·p−k+q+1−2(p−r)/(p+1) 형태가 된다.

5. 구성법: Steiner 시스템 S(2, p, n), 유한 기하학, Wilson의 분해 정리, K‑디자인 등을 활용해 M(k,n)=M_L(k, C(n,2)) 를 달성하는 실제 분해를 만든다. 특히 p‑정규 그래프와 (p,p+1)‑디자인을 결합한 ‘대체(substitution)’ 기법이 핵심이며, 이를 통해 k 고정일 때 M(k,n)= (1−o_k(1))√k·n−c_k 와 같은 점근적 하한을 얻는다 (Theorem 34).

6. 다른 파라미터와의 연계: Mad+1이 클리크 수 ω, 색채 수 χ, 선택 색채 수 ch, Szekeres‑Wilf 수 col 등 여러 파라미터를 상한·하한으로 지배한다. 따라서 M(k,n) 의 정확한 값이 알려지면 이들 파라미터에 대한 Nordhaus‑Gaddum형 정리도 즉시 도출된다 (Theorem 40).

전체적으로 논문은 기존의 Nordhaus‑Gaddum 연구가 주로 색채수 등에 국한됐던 점을 넘어, 평균 차수라는 보다 미세한 구조적 파라미터에 적용함으로써 새로운 상한·하한 기법과 설계 이론을 융합한다. 특히 리스트 변형과 Steiner 시스템을 연결한 방법은 향후 다른 그래프 파라미터에 대한 Nordhaus‑Gaddum형 결과를 탐구하는 데 강력한 도구가 될 것으로 기대된다.