두 서버 조인최단대기열 시스템 수렴 속도 분석

초록

본 논문은 도착률 λ, 서비스률 μ를 갖는 두 대칭 서버의 조인‑최단‑대기열(JSQ) 시스템을 직접 분석하여, 초기 상태와 무관하게 전체 변동 거리(TV)가 시간 t에 대해 O(\bigl((1-ρ)^{-3} t^{-1}\bigr)) 로 감소함을 보인다. 여기서 ρ=λ/(2μ)∈(0,1)이며, 결과는 기존의 확산 근사나 무한대 시스템 분석과 달리 원본 CTMC에 대한 비대칭적 상한을 제공한다. 핵심 기법은 도착·서비스 동시 결합(coupling)과 원점 도달 시간(T₀)의 기대값을 정밀히 추정하는 것이며, 이를 통해 TV 거리와 평균 대기열 길이의 수렴 속도를 명시적으로 제시한다.

상세 분석

본 연구는 두 대칭 서버를 갖는 JSJ(Join‑the‑Shortest‑Queue) 시스템을 연속시간 마코프 연쇄(CTMC)로 모델링하고, 초기 상태 x∈ℕ²에서 시작했을 때 시간 t 후의 분포 Pₜˣ와 정상분포 π 사이의 총변동거리(d_TV)를 명시적으로 상한한다. 주요 결과는 d_TV(Pₜˣ,π) ≤ C(λ,μ,x)·t⁻¹이며, 상수 C는 (1‑ρ)⁻³ 형태의 강한 의존성을 보인다. 이는 ρ가 1에 가까워질수록 수렴이 급격히 느려짐을 수학적으로 확인한 것이다.

기술적 핵심은 세 단계의 결합(coupling) 설계이다. 첫째, 두 시스템을 동일한 도착 포아송 과정 N_a와 독립적인 서비스 포아송 과정 N₁ᵈ, N₂ᵈ에 의해 동시에 구동한다. 이때 각 시스템은 현재 큐 길이의 최소값에 따라 도착을 할당받으며, 서비스는 각 큐에 존재할 경우에만 발생한다. 둘째, 이러한 결합을 이용해 두 시스템의 차이 r(t)=∑_i (p_i(t)−q_i(t))가 초기값을 초과하지 않음(monotonicity)을 보이는 Lemma 2를 증명한다. 셋째, 원점(0,0) 도달 시간을 T₀라 정의하고, 임의 초기 상태 (x₁,x₂)에서의 도달 시간 T(x)는 독립적인 T₀ 복제들의 합에 확률적 우위(stochastic dominance)를 가진다는 Lemma 3을 제시한다.

Lemma 4에서는 T₀의 기대값을 정확히 계산하여 E