통계 합의 다항식 보소닉 형태와 정수 분할의 홀·짝 최소 제외수

초록

본 논문은 Andrews와 Newman이 제시한 최소 제외수(mex)와 관련된 새로운 두 분할 통계량인 sqrank와 rerank을 정의하고, 이들이 각각 홀·짝 최소 제외수의 값 (2r+1)·(2r+2)와 일대일로 대응함을 증명한다. 이를 위해 Gaussian 다항식과 보소닉 형태의 통계 구성합을 이용한 생성함수 분석, 비트열과 제한된 분할 사이의 에너지 보존 전단사, 그리고 셀룰러 자동자와의 연결 고리를 구축한다. 결과적으로 모든 비음수 정수 (n)에 대해
\

상세 분석

논문은 먼저 기존의 최소 제외수 ( \operatorname{mex}_{A,a}(\lambda) ) 개념을 복습하고, 특히 (A=2)인 경우를 중심으로 “홀 최소 제외수”(값이 (2r+1))와 “짝 최소 제외수”(값이 (2r+2))를 정의한다. 이어서 저자는 두 새로운 통계량 sqrank와 rerank을 정밀히 구성한다. 이들은 파티션의 Durfee 정사각형(또는 Durfee 직사각형)과 그 안에서 오른쪽 가장자리로부터 길이 (n_a+a)인 림 훅을 차례로 제거하는 절차를 통해 얻어지는 잔여 다이어그램 (R_a(\lambda))의 프뢰베니우스 표현 (F(R_a(\lambda))=(x_1,\dots,x_d\mid y_1,\dots,y_d))에 기반한다.
\