고전역학의 힐베르트 공간에서 본 불확정성 및 위그너 부정성

초록

Koopman‑von Neumann(KvN) 형식으로 고전역학을 힐베르트 공간에 기술하면, 정준변환을 생성하는 에르미트 연산자들이 일반적으로 비가환성을 갖는다. 이로 인해 위치‑공간이동 생성자, 운동량‑운동량이동 생성자, 시간‑리우빌리언 사이에 양자역학과 유사한 불확정성 관계가 나타난다. 또한 두 배의 위상공간(좌표·그 변환 생성자) 위에 정의된 고전 위그너 함수는 음의 값을 가질 수 있어, 양자 위그너 함수와 같은 부정확도(negativity)를 보인다. Liouville 분포는 이 고전 위그너 함수의 주변분포로 회복된다.

상세 분석

본 논문은 고전역학을 KvN 힐베르트 공간으로 재구성함으로써, 양자역학의 핵심 현상인 불확정성 원리와 위그너 부정성을 고전 이론에서도 자연스럽게 도출할 수 있음을 보여준다. 핵심은 ‘틸다 변수(tilde‑variables)’라 불리는 정준변환 생성자들이 에르미트 연산자로서 존재하고, 이들 사이에 (