선거 순위의 거리 기하학: 블록·슬레이트 탐지를 위한 새로운 도구

초록

본 논문은 순위 통계의 두 핵심 거리인 Kendall τ와 Spearman footrule을 불완전한 순위(부분 투표)에도 자연스럽게 확장한다. 좌표 임베딩(Borda 임베딩과 head‑to‑head 임베딩)과 희소 그래프( ballot graph와 shortcut ballot graph)를 이용해 두 거리의 기하학적 구조를 정형화하고, 이를 바탕으로 유권자 블록과 후보 슬레이트를 효율적으로 군집화하는 방법을 제시한다. 합성 데이터와 스코틀랜드 지방 선거 실험을 통해 제안 방법의 안정성과 해석 가능성을 입증한다.

상세 분석

이 논문은 순위 기반 투표 데이터를 메트릭 공간으로 보는 관점을 체계화한다. 먼저 기존 통계학에서 널리 쓰이는 두 거리, Kendall τ(스와프 거리)와 Spearman footrule(스코어 거리)를 정의하고, 이를 부분 순위에도 적용할 수 있도록 두 가지 좌표 임베딩을 제안한다. Borda 임베딩은 각 후보의 점수를 m − rank 형태로 벡터에 넣어 L₁ 거리의 절반을 취하면 footrule 거리와 일치한다. 반면 head‑to‑head 임베딩은 모든 후보 쌍에 대해 +1, 0, −1 로 표시한 (m choose 2) 차원 벡터를 만들고, 이 벡터 간 L₁ 거리의 절반이 Kendall τ와 동일함을 보인다. 부분 순위에 대해서는 ‘비관적’(pessimistic)과 ‘평균적’(averaged) 두 가지 Borda 점수 부여 방식을 논의하고, 비관적 방식이 그래프 실현에 더 적합함을 증명한다.

다음으로, 이러한 거리들을 그래프 형태로 구현한다. ballot graph Gₘ는 모든 가능한(부분) 순위를 정점으로 하고, 인접 전위(이웃 교환)와 길이‑k 전위(일반 교환)를 가중치 1·k 로 연결한다. 이 그래프는 희소하지만 정점 차수가 O(m²)이며, 경로 길이가 바로 d_H(=Kendall τ)와 동일하다. shortcut ballot graph G₊ₘ는 추가적인 ‘일반 교환’ 간선을 넣어 d_B(=Spearman footrule)를 정확히 재현한다. 이러한 그래프 구조는 기존 Cayley 그래프와 연결되며, 대칭군 Sₘ의 생성자를 확장하는 형태로 해석된다.

이론적 기여는 크게 네 가지이다. (1) 완전 순위뿐 아니라 부분 순위와 일반적인 동점(weak ranking)까지 포괄하는 거리 확장, (2) 두 거리의 좌표 임베딩과 그래프 실현 간의 정밀한 동등성 증명, (3) 비관적 Borda 거리와 그래프 구현 사이의 호환성 확보, (4) 이러한 구조를 이용한 비지도 군집화 프레임워크 제시. 군집화는 L₁ 중심점(중앙 순위) 혹은 Kemeny 순위를 각각 클러스터 중심으로 삼아 k‑클러스터링(k‑Kemeny 문제)으로 정의된다.

실험에서는 합성 데이터에서 블록과 슬레이트를 정확히 복원함을 확인하고, 스코틀랜드 지방 선거(2012‑2022, 1000여 개 선거) 실데이터에 적용해 두 군집화 방법(Condorcet‑일관 규칙 기반 vs. 비일관 규칙 기반)이 거의 동일한 유권자 그룹을 도출한다는 점을 강조한다. 이는 제안 메트릭이 실제 선거 데이터에서도 강건하게 작동함을 의미한다. 또한, 부분 투표가 존재하는 현실 상황에서도 Borda와 head‑to‑head 임베딩을 동시에 활용함으로써 후보 간 상대적 관계와 전체적인 선호 강도를 동시에 파악할 수 있다.

마지막으로, 코드와 데이터셋을 공개함으로써 재현 가능성을 확보하고, 향후 메트릭 왜곡(metric distortion), 다수대표성(proportionality), 극단화(polarization) 등 사회 선택 이론의 다양한 문제에 이 도구를 확장 적용할 가능성을 제시한다.