로그볼록 사후분포를 위한 새로운 베른스타인 폰 미제스 정리

초록

본 논문은 로그볼록성만을 가정하여, 기존 베른스타인‑폰 미제스 정리에서 요구되던 미분가능성·지배조건을 제거하고, 잘 지정된 경우와 모델이 잘못 지정된 경우 모두에 대해 일반적인 수렴 결과를 제시한다. 핵심은 볼록 분석을 이용해 사후분포의 스케일링을 적절히 선택하고, 제약 집합의 접선·법선 원뿔을 통해 제한된 경우에도 정규근사(또는 제약된 정규분포)로 수렴함을 보이는 것이다.

상세 분석

이 연구는 베이지안 추정에서 핵심적인 베른스타인‑폰 미제스(BvM) 정리를, 로그가능도와 로그우선분포가 각각 파라미터에 대해 볼록(concave, convex)함을 전제로 전면 개편한다. 기존 문헌은 보통 로그가능도의 2차 미분가능성, 균등 지배조건, 그리고 사전분포의 단순한 형태(예: 전 공간 ℝ^d) 등을 전제한다. 그러나 저자는 이러한 가정을 완전히 배제하고, 오직 볼록성이라는 최소한의 구조적 가정만으로도 사후분포의 비대칭성·제약을 정밀히 기술한다.

먼저 파라미터 공간 Θ가 비어 있지 않은 내부를 갖는 경우(잘 지정된 모델)에서는 θ*∈int(Θ)라 가정하고, t=√n(θ−θ*) 로 스케일링한다. 이때 사후밀도는 exp{−n