격자 파동가이드의 가로 결함에 대한 정확 해법

초록

본 논문은 이산 정사각 격자 파동가이드에 가로 방향 디리클레 스크린을 삽입한 경우의 파동 산란을 다루며, 4×4 행렬 Wiener‑Hopf 방정식을 2×2 형태로 축소한 뒤, 극점 제거 기법을 이용해 정확한 해를 얻는다. 반사·투과 계수를 10⁻¹³ 수준의 정밀도로 계산하고, 경계대수방정식(Boundary Algebraic Equations) 수치와 일치함을 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 이산 정사각 격자 위에 두 개의 디리클레 경계(파동가이드 벽)와 중앙에 유한 길이의 디리클레 스크린을 배치한 구조를 정의한다. 총 변위장은 입사 파동과 산란 파동의 합으로 표현되며, 격자 라플라시안과 주파수 ω에 대한 이산 Helmholtz 방정식을 만족한다. 파동가이드 모드는 y‑방향에 사인 형태를 갖는 고유모드로, 각 모드는 Bloch 파수 K_j와 θ_j= jπ/N 으로 기술된다. 입사 파동은 전파 가능한 모드 중 하나(p)로 가정하고, 스크린에 의해 발생하는 대칭성(u_sc(m,n)=u_sc(−m,n))을 이용해 문제를 반대칭 영역으로 축소한다.

Fourier 변환을 m축에 대해 수행하면서, 내부·외부 반지름이 서로 다른 두 영역에서 정의되는 반변환 U⁺(x,n), U⁻(x,n)을 도입한다. 짝·홀 변환인 Φ(x,n)와 Ψ(x,n)으로 재구성하면, 각각 짝수·홀수 영역에 대해 차분 방정식 형태의 Wiener‑Hopf 방정식을 얻는다. 핵심 커널 Λ(x)=ω²−4+x+x⁻¹이며, y(x)라는 루트 함수를 통해 차분 방정식의 일반해를 A(x)yⁿ+B(x)y⁻ⁿ 형태로 전개한다. 스크린 구간에서는 비동차항 r(x,n) 가 등장하고, 이를 특수해 R(x,n)=Υ(x)s_p(n+N₁) 로 표현한다. 여기서 Υ(x)=1+Π(x), Π(x)= (x²−1)/