회전 구면 위 점소용돌이 구속 결과

초록

본 논문은 회전 구면에서 절대 소용돌이가 초기 단계에서 몇 개의 점 주변에 급격히 집중된 경우, 점소용돌이 동역학과 실제 유체 흐름 사이의 근사 정확도를 조사한다. 충돌이 거의 일어나지 않음, 일반적인 배치에서는 로그 시간 규모의 구속, 특정 조건에서는 파워법 구속을 입증하고, 이러한 결과들의 최적성을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 회전 구면 (S^{2}) 위의 2차원 무압축 유체를 기술하는 Euler 방정식 (\partial_{t}\omega+u\cdot\nabla\omega-2\gamma x_{3}=0) 을 소개한다. 여기서 (\zeta=\omega-2\gamma x_{3}) 는 절대 소용돌이이며, 흐름은 무발산이므로 스트림 함수 (\Psi) 가 존재하고 Biot–Savart 법칙은 커널 (K_{S^{2}}(x,y)=\frac{x\wedge y}{|x-y|^{2}{\mathbb R^{3}}}) 으로 표현된다. 점소용돌이 모델은 절대 소용돌이를 (\zeta(t,x)=\sum{i=1}^{N}\Gamma_{i}\delta_{x_{i}(t)}) 형태로 가정하고, 강도들의 합이 0이라는 가우스 제약을 만족한다. 이때 점소용돌이 위치는 \