다중집합 순열 그래프의 리스트 및 전체 색채 연구

초록

본 논문은 기호가 ℓ번씩 반복되는 k개의 원소로 이루어진 문자열을 정점으로 하는 다중집합 스타 전치 그래프 STₖ^ℓ을 정의하고, ℓ>2일 때 (ℓ‑1)‑choosable임을 보이며 따라서 전체 색채(total coloring)가 존재함을 증명한다. ℓ=2인 경우에는 효율적인 색채를 위해 ΣE‑집합을 이용해 2k‑1개의 색으로 전체 색채를 구성한다. 또한 효율 지배 ℓ‑집합(E^ℓ‑set)과 그 파티션 구조를 연구하고, E‑체인과 관련된 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 문자열 길이 kℓ, 각 기호가 ℓ번씩 등장하는 ℓ‑집합 순열을 정점으로 하는 그래프 STₖ^ℓ을 정의한다. 두 정점은 첫 번째 자리(v₀)를 다른 자리(vⱼ)와 교환하는 ‘스타 전치’에 의해 연결된다. 이 그래프는 k>1, ℓ≥1에 대해 정규 그래프이며, ℓ=1일 때는 대칭군 Symₖ의 Cayley 그래프가 된다. 저자는 기존의 효율 지배 집합(E‑set, ℓ=1)을 ℓ>1로 일반화하여 효율 지배 ℓ‑집합(E^ℓ‑set)을 도입한다. 정의에 따르면, 정점 집합 S가 E^ℓ‑set이면 그래프의 모든 비S 정점 v가 정확히 ℓ개의 서로 다른 S‑정점에 인접하고, 이 ℓ개의 인접 정점이 1‑구(거리 1) 구의 교집합을 오직 v 하나만 포함한다.

주요 결과는 다음과 같다.

1. SE^ℓ‑집합: 각 i∈